数学问题 高中

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

上下底面面积之比是1：9

厦门十一中学高考数学题 厦门十一中2020年中考

厦门十一中学高考数学题 厦门十一中2020年中考

，上底边长为一、高考数学填空题的命题特点2

，即下底边长

6故上底面积

√3

，下底面积

9√

3下底三角形顶点到其中心的距离为

（2/3）6

sin

60

=4sin

60

下底三角形顶点到其中心的距离为

---------------------

=（4/3）sin

60

而侧棱与底面成60度

，故侧棱长

=（4-4/3）sin

60

/cos60

=8√

3/3

故等腰梯形的侧面的高

=√[（8√

3/3）^2

-2^2

]=√

(52/3)

,故三个侧面的面积=

3(6+2)/2√

(52/3)

=8√39

所以三棱台的表面积

=10√3

+8√39

=67.3

高中数学概率题，排列组合的解题方法与技巧，只要有用都给分，在线教导或QQ，给你一百分，或给有用的资料

A.0 B.1 C.2 D.4

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

书写要规范。有的考生在平时的学习过程中不拘小节，许多专业的符号、字母都是用自创的简单写法来替代。结果习惯成自然，在正式的考试过程中也用了不规范的写法，从而影响了成绩。

1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可完成所给的，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4）按元素的性质进行分类，按发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个

[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选B。

二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．

例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)

解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).

注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．

五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．

解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42＝288(种)．

注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．

六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)

七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。

例6、7个人坐两排座位，排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。

八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）

A．6 B.9 C.11 D.23

解：方格内可填2或3或4，如填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，故选B

九、构造模型 “隔板法”： 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

十.排除法：对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．

A．140种 B．80种 C．70种 D．35种

解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种)，故选C．

注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．

十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律

例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。

解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=0种

十二．一一对应法：

例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）产生一名冠军，要比赛几场？

解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。

必修三 第三章概率

这一章涉及到的内容不是很难，不要产生心理压力！

重点是互斥和对立加古典概型

互斥：不能同时发生的两个事 A∩B=空集

（即可能A发生或可能B发生或两个都不发生）

对立：必须有一个发生的 A∩B=空集 A∪B=I（全集）

（即发生A或发生B）

当A∩B=空集时 P（A∪B）=P(A)+P(B)

P (A)= 1-P(A的对立)

当A∩B≠空集 P（A∪B）=P(A)+P(B) -P（A∩B）

古典概型

P(A)=A包含的基本的个数/基本总数

（基本：一次实验出现N次结果，每次结果叫一个基本）

几何概型

P(A)=构成A的区域面积长度（面积或体积）/所有结果构成的区域长度（面积或体积）

就这么多重要知识点！我今天刚刚考完期中考试。我高二，我们这回数学考的就是必修三和选修三，你这快要还不会呢~我你做做你们那种很厚很厚的复习练习册，我相信那里有专项练习，千万不要手懒哦~~

不愿意做，看也可以呢！

最最重要的是！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！我要分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~吼吼~~~~~~】

无良女------闪过~~~~~~~~（唔唔唔~肩膀痛~要分！！）

主要是课本例题，及课后习题，如果能够全部掌握就基本没有问题。

排列和组合最重要的一点：

排列和组合的区别，排列组合题就是去完成一件事，完成了这件事就做出来了

排列组合本来就让人头疼，别着急，慢慢来。当然了，如果其他方面提高的更快建议放弃这一块，毕竟分数占的很少。

QQ 563B747BB 有的都能给你解释，讲明白，但没有我不能保证每一题都能会做出来

书山有路勤为径·学海无涯苦作舟

最重要的是靠自己。先仔细阅读教材，可以找班上的同学带着教材给你简单的讲解教材、把教材每一道习题做好，然后再做资料书或者卷子。你一定要记住、在你每遇到一个不懂或者做错的题之后千万不要跳过，要把它搞懂再做下一道。

高一数学

还是概念没学明白 大一数学是最难的 关键问题多看例题 题型2：的性质找的切入点 多做题应该找的解题经验 数学还有就是不要嫌麻烦

哪里不懂就翻书去看。。千万不要不懂的堆起来，你有点基础，没问题的。越来越多不懂的就麻烦了。。快去弄明白吧。

多看多想多问！不懂就问几个公式：同学！不要害羞学知识是自己的事情！！！

高考数学怎么规范答题?

例4．已知全集 ，A={1, }如果 ，则这样的实数 是否存在？若存在，求出 ，若不存在，说明理由

高考数学试卷的答题时间分配，一般选择题和填空题每道题的答题时间平均为3分钟左右；做大题时，基础题型每道题的答题时间平均为10分钟左右,难题可以适当多些时间。

选择题和填空题。用40分钟左右完成选择填空的内容，做选择题和填空题时，每道题的答题时间平均为3分钟左右，前面容易的题争取1分钟内出。

大题解答题。做大题时，基础题型每道题的答题时间平均为10分钟左右。基础不同的学生对试题难易的感受不一样，基础扎实的学生如果在前面答题比较顺利，时间充裕，可以冲击几道大题。

对文科生来说，三角函数、数列、概率、立体几何尽量在较短时间内完成，每道题在10分钟内完成，圆锥曲线、函数与导数难度可能较大，每道题分配20分钟完成。

对理科生来说，三角函数、数列、概率、立体几何每道题分配10分钟时间完成，圆锥曲线、函数与导数每道题分配20分钟完成。

高考如何规范答题：

文具要② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ规范。平时的学习中,对于文具的选择并没有强制的硬性规定,但是高考就不一样了，每个省市都会有自己的规定，比如不能携带透明胶带、涂改液、电子计算器，只能用黑色的钢笔或签字笔，而不能用蓝色的。

填涂要规范。写文字或数字时要用钢笔或签字笔，涂点时要用2B铅笔。填涂方块时，要按照答题卡上的示例来涂，不能随心所欲、乱涂乱画，所有不规范的涂点都是计算机无法识别的,也就无法计分。

顺序要规范。在答题的时候，可能会遇到其中有一些题无法在 时间内就得 出，为了节约时间，往往会把这题跳过去，先答后面的题。

这就要求考生在涂答题卡时一定要看清楚题号,不要下意识地就按照答题卡的顺序顺次往下填涂,这样一来等于后面的所有题目全部都打乱了顺序,都填错的位置，正确率也就不可能高了。

而且这样还纯属于乌龙,等到发现了，又得全部涂改- -遍,大大地浪费了时间。

因此，考生们一定要在平时的练习中就有强烈的规范意识，把每一-次的作业、模拟考都当成是高考,这样才不会在的背水-战中因为这些小细节而失分。

谁能给我30道备战高考数学的题型，

A．{2} B．{3}

题型1：的概念

(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__

：12

解析 设两者都喜欢的人数为 人，则只喜爱篮球的有 人，只喜爱乒乓球的有 人，由此可得 ，解得 ，所以 ，即 所求人数为12人。

例1．（2009广东卷理）已知全集 ， 和

的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的的元素共有 ( )

A. 3个 B. 2个

C. 1个 D. 无穷多个

B

解析 由 得 ，则 ，有2个，选B.

例2．(2009山东卷理) , ,若 ,则 的值

为 ( )

D

解析 ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

【命题立意】:本题考查了的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得,本题属于容易题.

例3．(2009山东卷理) , ,若 ,则 的值为 ( )

D

解析 ∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

【命题立意】:本题考查了的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得,本题属于容易题.

C．{－3，2} D．{－2，3}

2. 已知A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．

解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

由 ，得

∴ 或 .

即A∩B＝φ时a的范围为 或 .而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为 .

评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

解：∵ ；

∴ ，即 ＝0，解得

当 时， ，为A中元素；

∴这样的实数x存在，是 或 。

另法：∵

∴ ，

∴ 一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。＝0且

∴ 或 。

点评：该题考察了间的关系以及的性质。分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足中元素的互异性。此题的关键是理解符号 是两层含义： 。

变式题：已知 ， , ,求 的值。

解：由 可知，

（1） ，或（2）

解（1）得 ，

解（2）得 ，

又因为当 时， 与题意不符，

所以， 。

题型3：的运算

例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数 的定义域是A,函数 的定义域是B

（1）求A、B

（2）若A B=B,求实数 的取值范围．

解 （1）A＝

B＝

（2）由A B＝B得A B，因此

所以 ,所以实数 的取值范围是

例6．（2009宁夏海南卷理）已知 ,则 ( )

A. B.

C. D.

A

解析 易有 ，选A

点评：该题考察了的交、补运算。

题型4：图解法解问题

例7．（2009年广西北海九中训练）已知M= ，N= ，则 （ ）

A． B．

C． D．

C

例8．湖南郡中学2008届高三第六次月考试卷数学（理）试卷

设全集 ，函数 的定义域为A， ，若 恰好有2个元素，求a的取值。

解：

时， ∴

∴，∴

∴当 时， 在此区间上恰有2个偶数。

2、 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的：

， ．其中 是有序数对， 和 中的元素个数分别为 和 ．若对于任意的 ，总有 ，则称 具有性质 ．

（I）对任何具有性质 的 ，证明： ；

（II）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．

解：（I）证明：首先，由 中元素构成的有序数对 共有 个．

因为 ，所以 ；

又因为当 时， 时， ，所以当 时， ．

从而， 中元素的个数最多为 ，

（II）解： ，证明如下：

（1）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．

故 与 也是 的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，

（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也不至少有一个不成立，

故 与 也是 的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，

由（1）（2）可知， ．

例9．向50名学生调查对A、B两的态度，有如下结果 A的人数是全体的五分之三，其余的不，B的比A的多3人，其余的不；另外，对A、B都不的学生数比对A、B都的学生数的三分之一多1人。问对A、B都的学生和都不的学生各有多少人？

解：A的人数为50× =30，B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的为U，A的学生全体为A；B的学生全体为B。

设对A、B都的学生人数为x,则对A、B都不的学生人数为 +1,A而不B的人数为30－x，B而不A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21。所以对A、B都的同学有21人，都不的有8人 。

点评：在问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件

的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)

－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)

＋(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：综合题

例11．（1999上海，17）设A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B，求实数a的取值范围。

由 <1，得 <0，即－2

因为A B，所以 ，于是0≤a≤1。

点评：这是一道研究的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查的概念及运算，解不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{an}是等数列，d为公且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设A={(an, )|n∈N},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

（1）若以A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠ 。

解：（1）正确；在等数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上。

（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4()，

当a1=0时，方程()无解，此时A∩B= ；

当a1≠0时，方程()只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，这时A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0，这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。

点评：该题融合了、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

（Ⅰ）设 ， ,求实数m的取值范围.

分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是 UM={m|m<-2}.

（解法三）设 这是开口向上的抛物线， ，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

（Ⅱ）已知两个正整数A={a1,a2,a3,a4},

、B.

分析：命题中的是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

（Ⅲ）

分析：正确理解

要使 ,

由当k=0时，方程有解 ,不合题意；

当 ①

又由

由 ②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

解：设A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有 种.

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结应用的经验。

例14．A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的：①对任意 ，都有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有

（1）设 ，证明：

（2）设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是的;

（3）设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 H。

解：

对任意 , , , ,所以

对任意的 ，

，，

所以0< ,

令 = ，

，所以

反证法：设存在两个 使得 , 。

则由 ，

得 ，所以 ，矛盾，故结论成立。

，所以

+…

。点评：函数的概念是在理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在的关系当中，题目比较新颖

五．【思维总结】

知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的语言，并用语言表达数学问题，运用观点去研究和解决数学问题。

1．学习的基础能力是准确描述中的元素，熟练运用的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪，∩等等；

2．强化对与关系题目的训练，理解中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种表示方法转换和化简训练；解决有关问题的关键是准确理解所描述的具体内容（即读懂问题中的）以及各个之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对的理解，一个能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定的“包含关系”与求的“交、并、补”是学习的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

③若A中有n 个元素，则A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是

④区分中元素的形式：

如 ；

；；

；；

；。

⑤空集是指不含任何元素的。 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何的子集，是任何非空的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。

⑥符号“ ”是表示元素与之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示与之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力

高考数学填空题的应对策略_高考数学题型全归纳

1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的为 （ ）

在高考数学卷中，填空题没有备选可供选择，避免选择项所起的暗示或干扰的作用，消除了考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生真正的数学水平。填空题只要求直接写出结果，不必写出计算、推理或证明过程，其结果必须是数值准确，形式规范，表达式（数）最简，若结果稍有疏漏就不得分。

本文以近几年全国各地高考数学题中较为典型的填空题为例，谈谈高考数学填空题的特点及应对策略。

1.注重基础：数学基本概念、公式与定理的广泛应用

随着高考数学试卷整体难度的调整和填空题题量的不断变更，高考数学数学基本概念、基本理论试题也越来越注重考查基础知识和主干知识。题目涉及的内容和背景资料基本上为考生所熟知，例如高考常考的圆锥曲线问题、二项式定理、概率问题等。

2.突出迁移：概念、理论试题的补充扩展

3.面向现实：概念、公式及定理的实际应用

高考数学填空题命题不拘泥于大纲，学生注意实际问题，经常用数学视角观察现实问题。这类题注重概率及排列组合的问题。

4.再现探究：理论试题的发展创新

高考数学概念、理论试题在强调知识应用的同时，还尝试对学生拓展性能力和研究性学习的考查，强化对学生获取信息、处理信息、运用信息解决问题的能力的考核。适当增加开放型试题，鼓励有创造性的，要求用研究性的思路考虑问题，提出更优的解决方案。考改试题不具难度但有深度，体现了与课改的一致性，配合和支持了中学新课程改革。

5.体现区分：概念、公式、理论试题的选拔功能

虽然高考数学试题难度下降，但其作为选拔性考试的性质决定了高考填空题应有必要的区分度和适当的难度。纵观近几年的高考数学填空题，体现这种区分和选拔功能的试题大多为基本概念、逻辑推理试题。概念、逻辑推理试题在高考数学试卷的选拔功能中起着重要作用。

二当 时，、应对策略

1.直接法

从题设条件出发，找出相关定义、定理或公式等直接进行求解，准确计算，得出结论。直接法是解填空题最常用的方法之一。

[例1]（2007-全国卷-13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文艺委员，则不同的选法共有 种。

[分析]直接利用排列组合的知识及从题目条件出发，得选法共有C13·A24=36种。

2.特例法

根据题设条件，选取适当的特殊值、特殊图形或特殊情况来进行处理问题，从而得出正确结论。用它解填空题是一种比较快速得到的解法。能利用特殊值法来解的题目，若能找到合适的特殊值，那解起题来将会有事半功倍的效果。

[例2]（2010-重庆文）如图1所示，由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段圆弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上）且半径相等。设第段弧所对的圆心角为?鄣i（i=1，2，3），则cos■cos■-sin■sin■= 。

=-■。

3.数形结合法

借助图形进行直观分析，并辅助之以简单计算得出结论。无论是解何种题，数形结合都是比较常用的的方法。

[例3]（2010-四川理-15）如图2所示，二面角的大小是?鄣-l-β的大小是60°，线段AB?奂?鄣，B∈l,AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 。

[分析] 如图所示，过点A做平面β的垂线，垂足为C，在β内过C做l的垂线，垂足为D。连结AB，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC=60°，又由已知，得∠ABD=30°，连结CB，则∠ABC即为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=■,CD=1,AB=■=4。从而sin∠ABC=■=■。

4.分析推理法

根据题设条件的特征进行观察、分析、推理，从中找出突破口，从而得出结论。

[例4]（2010-重庆理-15）已知函数f(x)满足：f(1)=■，且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),(x,y∈R)，则f(2010)= 。

[分析]令y=1，则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)，又f(1)=■，故f(x+1)=f(x)-f(x-1)，从而得f(x+1)=f(x-5)。所以函数f(x)的周期为6。再令x=1,y=0，则有4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)，故f(0)=■。从而f(2010)=f(335×6)=f(0)=■。

5.等价转化

从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的和未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的或已知的问题来解。当遇到那些不能用常规方法解时，应该考虑用等价法来解。

[例5]（2010-江苏-12）设x,y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤■≤9，则■的值是 。

[分析]从题设中来看，想直接运算出来是相当困难的，但从中可发现将其转化为对数形式时就好求了。由已知，知x,y均为正实数，两式分别取常用对数，得lg3≤1gx+21gy≤1g8……①，lg4≤21gx-1gy≤1g9……②，经运算化简得1g2≤1g■≤1g27，又lgx是增函数，所以2≤■≤1g27，故■的值为27。

6.变形公式法

从课本或习题中总结出来，但又不是课本的定理的“真命题”，用于解答填空题有快、准等优点。故而掌握好该方法并懂灵活应用那是相当不错的。

[例6]（2011-全国卷理-16）在△ABC中，B=60°，AC=■，则AB+2BC的值为 。

[分析]在△ABC中，根据正弦定理■=■=■=2R，其中R为△ABC外接圆的半径。由三角恒等变换，有AB+2BC=2sinC+4sin（120°-C）=4sinC+2■cosC=2■sin（C+φ），C∈（0，■），所以AB+2BC的值为2■。

高中数学那些难题？

[分析]从要求的结果来看，结论是的。故可尝试运用特例法。在符合题设条件下,让三段弧弧长相等（即点P为曲线C的中心），三个圆心分别记为O1，O2，O3，三段圆弧长的交点分别记为D，E，F，因为三个圆的半径相等，则O1，D，O2，E，O3，F构成一个正六边形，所以?鄣1，?鄣2，?鄣3均为240°。从而结论就容易求得了，即cos■cos■-sin■sin■=cos■=cos240

其实要出难了那里都可以有很难很难的题。上了大学学数学，才知道高中学的其实都不难。 我去年高考的，数学148 ，又当半年家教，基本高中数学题型都见了一遍。不同的题有不同的难法。简要概括一下 1、公认不难的 ：章，与简易逻辑，东西太少，一个选择题（指高考中）而已 第十二章，统计，属于新增内容，只考皮毛，背下来期望，方定义会用即可 第十五章，复数，由于新教材学了向量，此章成了鸡肋，早晚取消，一个选择。 2、难度较低的： 第四章、三角函数，本身不容易，公式多，技巧不少，但新大纲以明确降低此章要求，高考中一般是大题个，属送分题。 第五章，向量，属于新增内容，只考基本概念。但这章有时和应用题在一块出。自身不难，难题可能跟着解析出。 第九章，立体几何，不用多说，和三角不多，属于大题前三个，送分 第十、十一章，就是排列组合，二项式定理，概率，也是背概念，大题中的送分题 第十三章，极限；十四章，导数，属于为高等数学打基础，由于缺乏严格数学基础使之流于套公式。但是分省命题后在一些省份的压轴题中经常出现一些具有高代背景的函数题，对导数要求很高。不知你是哪个省的。 3、难的第二章，函数，第三章，数列。50%以上的高考压轴题是这两者结合的题。建议复习时掌握基本概念即可。难题量力而行。 第六章，不等式。一般也是和函数结合。纯不等式题现在不会考。至于综合题，主要在于技巧，和这章讲的关系不大。 第七、八章，解析，也是传统难题。解析出难了，得分率更低。函数类的难题主要是难在想法，而解析类在于超强的计算和观察的能力。

如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立．

高考数学试卷选择一共占多少分呢？

你想知道高考数学试卷选择一共占多少分吗?你是否明白高考数学的分值分布情况?下面我就为大家详细介绍下，具体内容如下。

高考数学选择题多少分 在高考数学的试卷中，选择题一共8小题，每小题5分一共40分。填空一共5个，随堂练习每题6分，一共30分。选择填空总共70分。具体是这样在高考数学试卷上分布的：

一、选择题 1~8 每小题5分 共40分

二、填空题9~14 每小题6分 共30分

三高考数学概念与理论试题重视基础，但不是就基础考基础，而是注重数学概念与理论基础的延伸和拓展，注重将课本理论知识的综合与应用。、解答题

15.三角函数或者解三角形 13分

16.概率题 13分

17.立体几何14分 (16 17位置可能互换)

18.导数题 13分

19.解析几何体 椭圆 双曲线 抛物线 之类的 14分

20.定义新运算 推理与证明 13分

共计150分

高考数学分值分布 1.与简易逻辑。分值在5～10分左右(一道或两道选择题)，高考数学考查的重点是抽象思维能力，主要考查与的运算关系，将加强对的计算与化简的考查，并有可能从有限向无限发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。

2.函数与导数，函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考数学中，至少三个小题一个大题，分值在30分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次(或四次)函数为命题载体，理科以生成性函数(对数函数、指数函数及分式函数)为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。

3.不等式; 高考数学一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式(组);证明不等式;比较大小;不等式的应用;不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法(确定取值范围)、数列通项或前n 项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。

4.数列：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考数学解答题中都占有重要的地位.题量一般是一个小题一个大题，有时还有一个与其它知识的综合题。分值在20分左右，文科以应用等、等比数列的概念、性质求通项公式、前n 项和为主;理科以应用Sn 或an 之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的工具，三者综合的求解题与求证题是对基础知识和基础能力的双重检验，是高考命题的新热点。

5.三角函数：分值在20分左右(两小一大)。三角函数高考数学题大致为以下几类：一是三角函数的恒等变形，即应用同角变换和诱导公式，两角和公式，二倍角公式，求三角函数值及化简、证明等问题;二是三角函数的图象和性质，即图像的平移、伸缩变换与对称变换、画图与视图，与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题;三是三角形中的三角问题.

高考数学对这部分内容的命题有如下趋势：⑴降低了对三角变形的要求，加强了对三角函数的图象和性质的考察.⑵多是基础题，难度属中档偏易.⑶强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角形问题、解析几何、立体几何的综合。以三角形为载体，以三角函数为核心，以正余弦公式为主体，考查三角变换及其应用的能力，已成为考试热点。

6.向量：分值在10分左右，一般有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题。向量是高考数学新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体。

都来帮帮我吧 高考问题

解：由|x－a|<2，得a－2你的成绩有点悬啊，不过你现在就好好看还是有希望的 ，语文、数学 和英语三门都是150分，你的语文还行，能考100来分。数学和英语你得好好加油，他们都是大分值的。以前我弟弟就是因为英语不好，高考才考70多分，结果只考了592分，一点就进了四川大学了。

有时候也是的，总是不喜欢的老师教，喜欢的老师又不出现，我弟弟就是不喜欢他的英即 ．语老师才几分的。

他本来也不好好干，后来高考前一个月他拼命看书，以前的书一点点看，有时都到夜里3点了他都不睡觉。

他以前和你不多的成绩，我给你说这些就是让你有信心的。我弟弟可以做的你也可以。

最主要的是你现在扎扎实实好好干，其实有时你自己看书，效果也不错，但课一定要好好听，如果听不懂就把它抄下来，回去自己好好琢磨一下，顺便翻翻书，回忆书上的知识。还不明白的话就找同学讨教一下，一直到弄懂为止。

其实百度搜索有好多高中网上课堂，但是高考很近，我还是觉得你应该把握书本，从头开始。

你不要着急，一点点慢慢来。

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希望我的话对你有帮助！加油啊！！

你在百度搜索出输入：高中网上课堂或者是高中某科网上课堂就可以看见很多，但不知这样的教学对你是否适合，现在离高考越来越近了，这样的学习对你来说似乎不大适合，客观地说，以你的基础要想在短时间内有所突破有很大的难度，建议你还是以教科书为准，扎扎实实地将各科的基础知识弄懂，内蒙使用的是全国二卷，所以对你来说基础知识是主要的，你也可以请家教，针对你的问题制定复习，这样或许还要好一些。

我认为最关键的是要提高你的 数学 和英语能力 只要这3科拿好一点成绩的话分数就不会低 现在你还是要抓住课本 网络教程之类对你的帮助应该不会有很多 既然你的决心这么大 我想从新把基础看一边 然后不懂的在问老师 因为高考试题都是离不开课本(除开放性题目) 只是以不同的形式来衍变下 叫你一下子看不懂怎么回事 实际只是基础知识稍微变一种说法而已 反正你现在只要基础知识都能搞懂 那高考分数应该不成问题 现在抓课本 抓基础 你还来得急 加油吧!~

没有捷径的，把以前的书都翻出来，从头到尾认真看，看完做卷子吧

同学，我很理解你现在的处境，我知道一个非常适合你的高考网上学习课堂，希望能够帮助到你，名字是简单学习网，或者你可以打电话进行咨询：010-58753366（转8008）找钟老师