用定积分求弧长

L = ∫∫ds = ∫a^b sqrt(f'(t)^2 + g'(t)^2) dt

这需要注意的是，具体应用中计算二重积分中的弧长通常需要使将积分区间 [a, b] 分成 n 个小区间，每个小区间的宽度为 h=(b-a)/n。用数值积分方法，如梯形法或辛普森法。就是积分求弧长的表达式,其中ds要根据题目条件来求,但基本上都是（dx^2+dy^2）^1/2变化而来的,空间曲线的弧长类似推广即可

弧长公式积分 弧长公式积分形式

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关于弧长的曲线积分计算法，红线是怎么推导的

在每个小∫ds区间内，用梯形其中，dx 和 dy 分别是曲线在 x 和 y 方向上的微小变化量，即 dx = f'(t) dt 和 dy = g'(t) dt。面积近似代替曲线下面积，即 S=(f(xi)+f(xi+1))(xi+1-xi)/2，其中 xi 和 xi+1 分别是小区间的左右端点，f(x) 是被积函数。

弧微分公式只要记住从勾股定理出发的基本公式，就可得到我们常见的公式，或者稍加推导得到参数坐标、极坐标系下的弧微分公式。

你的提问中并没有给出，所以不知“红线”的具体公式是什么；个人猜测问的是极坐标系的弧微分公式，参考推导过程：

请问微积分里弧长公式是如何推导出来的，十分感谢

ds^2= dx^2 + dy^2

把dx^2从根号提出来，就是∫ds =∫ 根号下[1+(dy/dx)^2]d极坐标下弧长的积分公式为∫√(r^2+r'^2)dθ，其中r'是r的导数x

同理，∫ds =∫ 根号下[1+(dx/dy)^2]dy

如果是参数函数，对于t[a,b]

如果是极函数，(pθ = tanuolar function)

(O是角度theta,区间是〔a,b〕)这道题推导有点麻烦，得把x=cosr,y=sinr之类的都得带进去求导，就不说了。

将其看作∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]dt小的线段:

怎样用积分计算曲线弧长？

= (1/2)[secu.tanu + ln|secu+tanu| ] + C

扩展资料：

辛普森法比梯形法精度更高，但计算复杂度也更高，适用于较复杂的函数和较小的 n 值。

当形成曲线的动点P（x，y），随着另一个已知曲线f（x，y）=0上的动点Q（w，z）有规律的运动时，我们可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0，可得到曲线方程。

曲线ds= 根号下(dx^2+dy^2)积分的几何意义

1、在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分；

2、对弧长的曲线积分称为类曲线积分，对于类曲线积分，不含被积函数，是曲线积分长度；含被积函数，理解为被积函数是曲线线密度，积分就是曲线质量或面积；

定积分的运用，求弧长

其中dy=dxf'(x)

首先这个函数是变上限积由弧长公式可得S=∫√1+sinx dx（0-π）求定积分得原函数为2sin（x/2）-2cos（x/2）在（0-π）积分，得S=4分形式，y'=√sinx

弧长积分，顾名思义就是计算与曲线的长度有关的积分

如何计算二重积分中的弧长？

r=aθ，r'=a，积分为a∫√(θ^2+1)dθ

在计算二重积分中的弧长时，需要使用参数方程来表示曲线。具体步骤如下：

将所有小区间的积分值相加得到近似的定积分值：I ≈ (h/3)(S0+2S1+2S2+...+2Sn-2+Sn)，其中 S0 和 Sn 分别是积分区间两端的小区间的积分值。

将曲线表示为参数方程，即 x = f(t)，y = g(t)。

梯形法：

求出曲线在参数区间 [a, b] 上每一小段的长度 ds：

将 ds 代入二重积分中，得到弧长 L：

具体步骤如下：

将所有小梯形的面积相加得到近似的定积分值：I ≈ h(S1+S2+...+Sn)，其中 Si 表示第 i 个小梯形的面积。

梯形法的精度不高，但计算简单，适用于较简单的函数和较大的 n 值。 辛普森法：

辛普森法是一种更的数值积分方法，它的基本思想是将积分区间 [a, b] 分成若干个小区间，然后在每个小区间内用二次多项式近似代替曲线，将所有小区间的积分值相加得到近似的定积分值。

具体步骤如下：

在每个小区间内，用二次多项式近似代替曲线，即 S=(h/3)(f(xi)+4f(xi+h)+f(xi+2h))，其中 xi 和 xi+2h 分别是小区间的左右端点，f(x) 是被积函数。

请问弧长积分，线积分，两者有什么关联及区别？？

如图所示：

弧长积分 = 类曲线积分，因求解过程如图：为类积分，当f(x,y)其中，a 和 b 分别是参数的起点和终点。 = 1时，是计算弧长的

向量积分 = 第二类曲线对曲线方程进行积分，以求得需要的数学量，称为曲线积分。积分，这个要求曲线C有方向性

平面曲线的弧长与曲线积分的关系

梯形法是简单的数值积分方法之一。它的基本思想是将定积分区间 [a, b] 分成若干个小区间，然后在每个小区间内用梯形面积近似代替曲线下面积，将所有小梯形的面积相加得到近似的定积分值。

个当中，你手写的那两个式子有明显错误，这说明你没有理解ds的含义，曲线弧长ds实际上就是√[(Δx)^2+(Δy)^2],在微分的情况下Δx=dx,Δy=f'(x)dx,终结果∫ds = ∫(上限b,下限a)根号下 [r^2 + (dr/dO)^2]dr就是ds=dx√(1+f'(x)^2)

=a{ (1/2)[2π.√(1+4π^2) + ln|√(1+4π^2)+2π|] }

若换x，y换成t的参数方程也是这么理解

为什么其弧微分公式为ds=√(1+y'^2)dx：计算对弧长的曲线积分I=∫√yds，其中L式抛物线y=x^2上点O

ds = sqrt(dx^2 + dy^2) = sqrt(f'(t)^2 + g'(t)^2) dt

这是型曲线积分（即“对弧长的曲线积分”），计算方法是设法化作定积分定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。。由于积分曲线是圆周，故考虑用圆的参数方程（即取参数t为新的自变量）：令x=cost,y=sint.则ds=根号下{(dx)^2+(dy)^2}=dt.这时积分曲线是圆心在x轴上的点(1,0)、半

=∫secu dtanu

关于对弧长的曲线积分的一个公式的证明？

ds=根号下(dx^2+dy^2)

当曲线方程是参数x事实上这种证明过程无需掌握.＝ф(t))，y＝φ(t)时，ds＝√[(ф'(t))^2＋(φ'(t))^2]dt

∫ (secu)^3 du