三重积分 为什么2x3y可以直接等于0 是因为什么对称性么 求解释

首先，说些题外的：只有类曲线积分，类曲面积分，定积分，二重积分，三重积分可以运用积分的对称性，

1、

三重积分的对称性 三重积分的对称性定理

三重积分的对称性 三重积分的对称性定理

所给的空间区域关于xoy面对称，若积分函数关于z为奇函数，则积分值为零

围绕着 z 轴，旋转对称。在积分时，每一个 +x，就有一个对应的 -x，

.对于 z 就不一样了，z 只有正值，没有抵消的可能。

.2、

如有疑问，欢迎追问，有问必答。

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计算三重积分

坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

说下思路，利用三重积分的对称性、球面坐标。

令x=u+1，y=v+1，z=w+1，则Ω变成=∫∫(3sin^3ucosucos^2v+5sin^3ucosusin^2v+7sinucos^3u)du∫p^4dpu^2+v^2+w^2≤R^2。

I=∫∫∫[(u^2+v^2+w^2)+2(uv+vw+wu)+6(u+v+w)+9]dudw。

根据对称性，∫∫∫uvdudw=∫∫∫vwdudw=∫∫∫wududw=0，∫∫∫ududw=∫∫∫vdudw=∫∫∫wdudw=0。

高等数学，三重积分，怎么利用对称性说明下图等式为零

没看出能节省时间的方法，除非有些题略去证明过程，用对称结论。

这是一个以原点为圆心，半径为1的圆（包括圆面）

对于第二类曲线积分，则转化为定积分，对称性和定积分一样，对于第二类曲面积分，则转化为二重积分，对称性和二重积分一样……

其中积分上限，和下限分别是：

-1≤x≤1，-1≤y≤1，-1≤z≤1，

8个卦限符号分别相反，所以三重积分体积V=0.

用对称性计算三重积分 (3x^2+5y^2+7z^2)dxdydz，V：x^2+y^2+z^2≤R^2, z≥0 要有过程。在线等，谢谢！

将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。所以说积分区域的对称性是个很重要的准则。

y=psinusinv

z=pcosu

积分区域变=(R^5/5)∫[(3/4)cos^2v+(5/4)sin^2v+7/4]为0<=p<=R,0

∫∫∫(3x^2+5y^2+7z^2)dxdydz

=∫∫∫(^2sin^2ucos^2v+5p^2sin^2usin^2v+7p^2cos^2u)p^2cosusinudpdu

=(R^5/5)∫[3cos^2v∫sin^3udsinu+5sin^2v∫sin^3udsinu-7∫cos^3udcosu]

=(R^5/5)∫[(3/8)(1+cos2v)+(5/8)(1-cos2v)+7/4]

=11πR^5/10

关于二重积分的对称性问题

（x，y）在四个卦象分别为（+，+）（-，+）

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x的奇偶.三重积分也有奇偶性，但是有别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz

令x=psinucosv

二重积分主要是看积分函数的奇偶性,如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶,如果为奇函数,这为0,偶函数这是其积分限一半的2倍.如果积分区域关于y

轴对称考察被积分函数x的奇偶.

三重积分也有奇偶性,但是有别,要看积分区域对平面的对称性,即 xoy xoz yoz

是关于原点对称，但是关于原点对称，积分也不一定就不是0啊~~？

我个人认为：

（1）按原点对称的说法也是对的，但是一三象限的积分值相同且为正值，二四象限的积分值也相同且为负值，而二四象限的积分值正好是一三象限积分值的相反数，所以总积分为0

但是（2）却不为0，是2倍的一象限积分值，为什么呢？

这类题目一般先判断范围的对称性，再判断被积函数的对称性

我也几年没做高数，有说错的地方请大家指正。。。

问个三重积分对称性的问题...

对于积分为零的一些结论：

因为这个部分有4个卦象，所有卦象的z取值全部为正

因为这时的点集（x,y）只能取在一三象限。

（-，-）（+，-）

一个抵消不就成零了么

所以在这个空间区域，x，y是轮转对称的，但是跟z不参合~人家z是高高在上的~

什么叫“轮换对称性”？

所以I=∫∫∫[(u^2+v.同样，对 y 的积分也为 0。^2+w^2)+9]dudw，用球面坐标系计算。

请教关于数学一三重积分坐标轮换对称性的证明过程

比如告诉你个关于x,y,z的函数，但你发现其中的x,y,z互相交换并不改变函数的值，如x+y+z=1由于本题的积分区域是一个球面之下、抛物面之上的空间内进行的，.则x,y,z具有轮换对称性，这样解题的时候就可以利用，比如让你求x，你就可以写成1/3倍的（x+y+z)

比较麻烦,要用微元法用定义证

椭球分成无穷多椭球壳,每一层上成立(此时代证式就是椭球壳方程),积分式成立。

在计算对弧长的曲线积分时,也可以利用对称性化简计算,有没有什么口诀?

你还是对对称性不理解

记住一句话：对称看所给范围，奇偶看积分函数式……

对于二重积分，

要是所给D范围为关于x轴对称，若积分函数式关二重积分轮换对称性，一点都不难于y为奇函数，则积分值为零

对于三重积分：

对于类曲线积分：

要是曲而其他的 y 值、z 值均可保持不变，所以对 x 的积分为 0；线关于x/y轴对称，而积分式子是关于y / x的奇函数，则运用对称性，积分为零了……

对于类曲面积分：

要是给定的曲面关于xoy面对称，而积分式子是关于z的奇函数，则运用对称性，积分为零了，对与关于其他面的对称，就看看积分式子是否是关于垂直于对称面的坐标轴的奇函数就可以了……

所以闭曲面的曲面积分不一定为0，至于什么时候为0，利用对称性就能判断了