泰勒展开式是一个数学公式，它将一个函数表示为关于某个点的幂级数。对于函数 1/(1+x)，其泰勒展开式如下：

1/(1+x) 的泰勒展开式

``` 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... ```

其中，x 是展开点，可以使用任何实数。

推导泰勒展开式

泰勒展开式可以通过使用微积分来推导。对于函数 f(x)，其泰勒展开式在点 a 处的形式为：

``` f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... ```

对于函数 1/(1+x)，其导数为：

``` f'(x) = -1/(1+x)^2 f''(x) = 2/(1+x)^3 ... ```

将这些导数代入泰勒展开式的公式中，即可得到：

``` 1/(1+x) = 1 + (-1)(x-0) + (2)(x-0)^2/2! + (-6)(x-0)^3/3! + ... ```

简化后，得到泰勒展开式的形式：

``` 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... ```

收敛域

1/(1+x) 的泰勒展开式在 -1 < x < 1 的区间内收敛。这是因为展开式中的每一项的绝对值都小于前一项的绝对值。因此，级数是收敛的。

应用

1/(1+x) 的泰勒展开式在许多应用中都有用处，例如：

计算积分 求解微分方程 近似函数值

例如，要近似函数 1/(1+0.1) 的值，可以使用泰勒展开式的前三项：

``` 1/(1+0.1) ≈ 1 - 0.1 + 0.1^2 = 0.99 ```