三角函数的二倍角公式对于解决各种三角学问题至关重要。它们使我们能够将包含双角的三角函数表达式简化为包含单角的表达式。通过理解这些公式的推导和应用，我们可以显著地扩展我们的三角学技能。

三角函数二倍角公式：深入理解

推导

对于任意角θ，我们可以将以下恒等式应用于单位圆上的点(cos θ, sin θ)：

``` (cos θ + i sin θ)² = cos(2θ) + i sin(2θ) ```

展开左侧并使用欧拉公式，我们得到：

``` cos² θ - sin² θ + 2i cos θ sin θ = cos(2θ) + i sin(2θ) ```

将实部和虚部分别相等，我们得到二倍角公式：

余弦二倍角公式： cos(2θ) = cos² θ - sin² θ 正弦二倍角公式： sin(2θ) = 2 sin θ cos θ

应用

这些公式的应用范围广泛，包括：

求解双角三角值：使用二倍角公式可以将包含双角的三角函数表达式简化为单角表达式，从而更容易求解。 证明三角恒等式：可以使用二倍角公式来证明许多常见的三角恒等式，例如： sin(π/2 - θ) = cos θ cos(2π - θ) = cos θ 求解方程：可以使用二倍角公式将包含双角的三角方程转换为单角方程，从而更容易求解。

技巧

为了记住二倍角公式，可以使用以下技巧：

口诀："Plus-Minus-Double"（加-减-双倍）

余弦：cos² θ 加 sin² θ 减 2 正弦：双倍 sin θ 乘 cos θ

图形表示：想象一个单位圆，其中 θ 是起点为(1, 0)的圆弧角。将起点绕圆顺时针旋转 2θ 会得到新的点(cos 2θ, sin 2θ)。

结论