为什么定积分和不定积分都叫积分，但是他们的几何意义上看来完全没有联系？它们到底有什么关系？

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；

定积分有上下限，不定积分主要记住以下几点，就是设x=多少，然后求你设的那个x的导数，然后把这个x=多少代进去，同时别忘了乘上那个x的导数。然后计算。。。后面加一个常数。

不定积分的几何意义 定积分和不定积分的几何意义

不定积分的几何意义 定积分和不定积分的几何意义

不定积分的几何意义 定积分和不定积分的几何意义

不定积分结果是一个函数族，其中任意一个函数，都可以用来计算定积分

定积分=不定积分对应的函数F(x)计算F(b)-F(a)

积分的几何意义面积 积分的几何意义面积是什么

1、定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴f(xx，x之下部分为负，根据cosx在0, 2π区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

2、定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间a,b上的积分和的极限。

4、一个函数，可以存在不定积分，而不存在定xasint(orxacost)积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分的意义论文

F((x))C

问题一：不定积分在实际生活中哪些方面有应用？二重积分在实际生活中有什么用？急切求参考！ 不定积分，是为定积分打基础的。

因为大量的定积分，都是通过不定积分+牛顿莱布尼茨公式来解的。

二重积分的物理意义，

如果z=f(x,y)是个曲面的话，那么∫∫f(x,y)dxdy表示以z为穹顶的C(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC曲面圆柱体的体积。

当然如果一个平面放置于xoy面上，他的面密度为f(x,y)的话，那么∫∫f(x,y)dxdy表示的就是这个平面的质量。

还可以，比如在(x,y)∈D的范围内，求f(x,y)的平均值。

设D的面积为S，那么平均值m=(1/S)∫∫f(x,y)dxdy

问题二：二重积分的本质是什么 不定积分是求全体原函数。

定积分，二重积分是和式的极限。

问题三：定积分 不定积分 微分方程 10分 1、(1)sin(3x)dx=(1/3)sin(3x)d(3x)=-(1/3)d(cos(3x))-->int(sin(3x))=-(1/3)cos(3x)+C

(2).展开被积函数代公式：=3exp(x)-x+C

2.(1)分部积分=-2 (2)直接代公式=14/3

3.(1)分离变量：dy/y=2xdx-->y= Cexp(x^2)

(2)y(x) = (x+C)x^2:常数变易法，先求奇次方程的特解为Y=Ax^2，再另A=A(x)，对

问题四：求定积分，有什么窍门吗。。 奇函数，等于0

问题五：求这个不定积分，比较复杂 我算不出 这就是个一阶线性方程：

微分，定积分，不定积分的定义及区分

通俗一点就只能那么说了，再通俗就说不明白了

微分说白了跟导数不多，高中学过x的多少此方的导数怎么求，以及导数的几何定义，就是图像在某点的切线斜率，计算微分和计算导数是一样的道理。只不过注意在dx上的区别，如果仅仅做计算题的话，几乎是同样的概念。

不定积分，说白了，就是你原来有个函数，求导数。现在过程反过来了，就是给你某个函数的导数，让你求原来那个函数。跟导数或微分是完全相反的计算。

定积分，就是在不定积分的基础上规定了取值范围，几何意义就是计算某个函M(b-a)<= <=M(b-a)数图像的面积。

不定积分第二类换元法也就是三角换元法，当然以后的题也会有非三角换元法。

定积分与不定积分是不是同一种运算，为什么都叫积分，也都有积分符号？但几何意义完全不同？

定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

咱们看定义：

设f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，使得F'(x)=f(x)对任意x属于I都成立，那么则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

因此，不定积分的定义是找原函数的，即得到。

（2）定（1）不定积分：积分

如果大家翻下课本的话，会记得定积分的定义是根据求曲边梯形的面积得出来的。

因此，定积分的定义是用来求面积的，即得到一个数。

不定积分为什么要用∫f(x)dx表示?

不定积分的目的是为了训练你找原函数，从而让你能够做出定积分

所以不定积分是没有几何意义的，你要理解定积分的意义就可以了，不定2)积分中值定理积分就是把积分限去掉

想要用换元法是要利用微分之间的相互转化的，dy=f（x）dx，其中f（x）是函数的导数。这是一个函数变化量的估计计算公式，实际上并不一定等于自变量的变化值乘以导数（即图像的斜率），但是当x变化量趋于0的时候，可以近似代替，这就是微分的思想。所以dx和f（x）是一体的，近似代表自变量一定变化时因变量的变≤ %化值。

什么叫积分，什么叫微积分，什么叫定积分，什么叫不定积分，有什么联系和区别

(3) 三角= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C代换去根号

积分是累加的一种形式，可以简单看成是无限项无限小的和。

微积分是两个东西的统称，微分和积分，二者互为逆运算。

刚才说积分是一种特殊的累加运算，不定积分就是已知一个函数的导数，要求的原函数，因为这样的原函数有无限多个（相一个常数），所以叫不定。

那什么叫做定积分呢？积分不是一种累加吗，那定积分指定这种累加要从哪里开始，要到哪里结束，算出这个和。可以证明这个和是就是原函数在上下限的函数值的（牛顿莱布尼茨定理），而这个原函数虽然有无限多个，但因为只是相一个常数，所以这个值是不变的，所以叫做定积分。

如果你没系统学过的话，你把以上的都叫积分。用到积分的也含有微分的知识，因此也会把积分说成微积分。至于定积分，不定积分是指积分有没有指定积分上下限，有即定积分。还有无穷积分是指上／下限是无穷大或无穷小。

不定积分与定积分的关系是什么？详细回答

二、不定积分

定积分有上下限，几何意义是面积。不定积分没有上下限，求的是原函数。不定积分是定积分基础，二者算法完全一样，只是定积分要带值，上限值减去下限值。

(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

简单说：

不定积分的结果是一种关系，类似一个函数。

定积分是在不定积分的基础上，限定了这个函数变量的两个值（上边界、下边界）的，其结果往往是一个数值。

不定积分求的是原函数，定积分求的是一个具体的数，不定积分是微分的逆运算，定积分是建立在不定积分的基础上把值带进去想减，

不定积分的几何意义是积分曲线簇，定积分的几何意义代表的是面积的代数和。

定积分的几何意义是什么

定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的几何意义

定积分

定积分是积分的1.不计算积分，比较积分值的大小一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区或df(x)f(x)C间[a,b]中的图像包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

f(x)=e^sinx函数的不定积分是什么呢?

一、原函数与不定积分的概念

此函数的原函数不是初等函数，如果一定想要计算，可以把e^sinx用泰勒公式展开，逐次对每项进行积分，求和，e^sinx在一定的区间范围是可以计算出定积分的。

1、在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′面积、体积是几何意义。 = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

2、不定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0, 2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

3、根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

4、一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分证明题方法总结

f(x)dxf(x)C,

总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，不如立即行动起来写一份总结吧。但是总结有什么要求呢？以下是我整理的定积分证明题方法总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

定积分证明题方法总结1

摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。

:积分方法 类换元法第二类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式

(1)kdxkxC(k为常数)

(2)xdx

11

x1

C(1)

1(3)xlnxC

x(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2(5)a

xdx

ax

lna

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

22

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

f[(x)](x)dxF(u)C

凑微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

该方法叫换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，则

xt换元

fxdx

fttdt

积分

FtC

t1

x回代

1FxC.

该方法叫第二换元积分法

定积分证明题方法总结2

一、不定积分计算方法

1.凑微分法

2.裂项法

3.变量代换法

1)三角代换

2)根幂代换

3)倒代换

4.配方后积分

5.有理化

6.和化积法

7.分部积分法（反、对、幂、指、三）

8.降幂法

二、定积分的计算方法

1.利用函数奇偶性

2.利用函数周期性

3. 参考不定积分计算方法

三、定积分与极限

1.积和式极限

2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3.洛必达法则

4.等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用

1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则>= ()dx

2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)

b)当0

2.估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其值为M，最小值为m则

3.具体函数的定积分不等式证法

1)积分估值定理

2)放缩法

3)柯西积分不等式

4.抽象函数的定积分不等式的证法

1)拉格朗日中值定理和导数的有界性

3)常数变易法

4)利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法

1、经验总结

(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

(2)定积分几何意义：

①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab

②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的'面积的相a

反数

(3)定积分的基本性质：

①kf(x)dx=kf(x)dx aabb

②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx

③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac

(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb

①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义

’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba

定积分证明题方法总结3

一、不定积分的概念和性质

若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！

df(x)dxf(x) dx

性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性质3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.类换元法（凑微分法）

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常见凑微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；

2.第二类换元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换x1; t

xatantxasect、

f(xdx，t

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

xf(xx，t

三、分部积分法：uvdxuuvvduuvuvdx.

注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

(2)uvdx要比uvdx容易计算；

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

arcsinx1dx，

uv

(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；

定积分证明题方法总结4

1、原函数存在定理

●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分

1、定积分解决的典型问题

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

定积分的应用

1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)

●直角坐标系下(含参数与不含参数)

●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)

●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)

●功、水压力、引力

●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)∫abf(x)dx)

定积分证明题方法总结5

一、原函数

定义1 如果对任一xI，都有

F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2)

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）

注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。

如果F(x)为f(x)的一个原函数，则

f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）

三、不定积分的几何意义

图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．

在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线．

四、不定积分的性质（线性性质）

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

k为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（

五、基本积分表

∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + C

∫ cosx dx = sinx + C

∫ sinx dx = - cosx + C

∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

∫ tanx dx = - ln|cosx|∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C + C = ln|secx| + C

∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

∫ sec^2(x) dx = tanx + C

∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

∫ secxtanx dx = secx + C

∫ cscxcotx dx = - cscx + C

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

六、换元法（凑微分）

设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，则 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或

f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

f[(x)](x)dx[f(u)du]

公式(2-1)称为类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1)

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb