在三维空间中，平面的法向量是一个矢量，垂直于平面并指向平面的某一侧。它提供了平面的方向和倾斜度信息，在几何和物理等领域有着广泛的应用。

平面的法向量：几何与应用

几何理解

设平面为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是法向量的分量，D 是常数。法向量 n 可以表示为：

n = (A, B, C)

因此，法向量的方向是由平面方程中的系数决定的。法向量指向平面的正面，即方程右侧为正的半空间。

应用

平面的法向量在几何和物理中有着重要的应用：

点到平面的距离：对于点 P(x₀, y₀, z₀) 和平面 Ax + By + Cz + D = 0，点到平面的距离为：

``` 距离 = |(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) / ||n|| | ```

平面的相交：如果两个平面由法向量 n₁ 和 n₂ 和常数项 D₁ 和 D₂ 给出，它们的交线可以表示为：

``` (D₂ - D₁) n = n₁ × n₂ ```

其中 × 表示叉积。

表面法线：在曲面上，一点的表面法线与该点处的平面法线相同。它用于计算法线矢量场，在计算机图形学和流体力学中至关重要。

力在平面上的投影：如果一个力 F 作用于一个平面，其法向量为 n，则力在平面上的投影为：

``` F⋅n = ||F||cosθ ```

其中 θ 是力与法向量的夹角。

例子

平面 x + y - z = 0 的法向量是 n = (1, 1, -1)。平面正面位于 x + y - z > 0 的半空间中。 两个平面 x + y = 2 和 2x - y = 3 的交线为 (1, 1, 0)。