2009高考数学文科全国卷1

2009年普通高等学校招生全国统一考试

2009年高考数学文科试卷 2009年高考数学试卷全国卷

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2009年高考数学文科试卷 2009年高考数学试卷全国卷

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果 互斥，那么 球的表面积公式

如果 相互，那么 其中 表示球的半径

球的体积公式

如果 在一次试验中发生的概率是 ，那么

次重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径

一、选择题

（1） 的值为

(A) (B) (C) (D)

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解： ，故选择A。

(2)设A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 ，则 中的元素共有

(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个

【解析】本小题考查的运算，基础题。（同理1）

解： ， 故选A。也可用摩根定律：

（3）不等式 的解集为

（A） （B）

（C） （D）

【解析】本小题考查解含有的不等式，基础题。

解： ，

故选择D。

（4）已知tan =4,cot = ,则tan(a+ )=

(A) (B) (C) (D)

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：由题 ， ，故选择B。

（5）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于

（A） （B）2 （C） （D）

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即 ，故选择C。

（6）已知函数 的反函数为 ，则

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，故选择C。

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有 ，故选择D。

（8）设非零向量 、 、 满足 ，则

（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为

(A) (B) (C) (D)

【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）

解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D

(10) 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的小值为

(A) (B) (C) (D)

【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解: 函数 的图像关于点 中心对称

由此易得 .故选A

（11）已知二面角 为600 ，动点P、Q分别在面 内，P到 的距离为 ，Q到 的距离为 ，则P、Q两点之间距离的小值为

【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、值问题，综合题。（同理10）

解:如图分别作

，连

，又

当且仅当 ，即 重合时取小值。故选C。

（12）已知椭圆 的右焦点为F,右准线 ，点 ，线段AF交C于点B。若 ,则 =

(A) (B) 2 (C) (D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解：过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A

2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修 选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效）

（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于_____________.

【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）

解: 因 所以有

（14）设等数列 的前 项和为 。若 ，则 _______________.

【解析】本小题考查等数列的性质、前 项和，基础题。（同理14）

解: 是等数列,由 ,得

。(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则球 的表面积等于__________________.

【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：设球半径为 ，圆M的半径为 ，则 ，即 由题得 ，所以 。

（16）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是

① ② ③ ④ ⑤

其中正确的序号是 .（写出所有正确的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写①或⑤

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)

设等数列{ }的前 项和为 ，公比是正数的等比数列{ }的前 项和为 ，已知 的通项公式.

【解析】本小题考查等数列与等比数列的通项公式、前 项和，基础题。

解：设 的公为 ，数列 的公比为 ，

由 得 ①

得 ②

由①②及 解得

故所求的通项公式为 。

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）

在 中，内角 的对边长分别为 .已知 ，且 ，求 .

【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：由余弦定理得 ，

又 ，

，即 ①

由正弦定理得

又由已知得

，所以 ②

故由①②解得

(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ，点 在侧棱 上，

（Ⅰ）证明： 是侧棱 的中点；

（Ⅱ）求二面角 的大小。（同理18）

解法一：

（I）

作 ‖ 交 于点E，则 ‖ ， 平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作 ，垂足为F，则AFME为矩形

设 ，则 ，

由解得

即 ，从而

所以 为侧棱 的中点

（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

，故

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角

连接 ，在 中，

所以

二面角 的大小为

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设 ，则

（Ⅰ）设 ,则

又故

即解得 ，即

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由 ，得AM的中点

又所以

因此 等于二面角 的平面角

所以二面角 的大小为

(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥有一个发生的概率、相互同时发生的概率，综合题。

解：记“第 局甲获胜”为 ，“第 局乙获胜”为 。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为A，则

，由于各局比赛结果相互，故

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

，由于各局比赛结果相互，故

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数 .

（Ⅰ）讨论 的单调性；

（Ⅱ）设点P在曲线 上，若该曲线在点P处的切线 通过坐标原点，求 的方程

【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。

解：（Ⅰ）

令 得 或 ；

令 得 或

因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和 为减函数。

（Ⅱ）设点 ，由 过原点知， 的方程为 ，

因此 ，

即 ，

整理得 ，

解得 或

因此切线 的方程为 或

(22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线 与圆 相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求 的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

解：（Ⅰ）将抛物线 代入圆 的方程，消去 ，

整理得 ①

与 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根

由此得

解得

又所以 的取值范围是

（II） 设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。

则由（I）根据韦达定理有 ，

则令 ，则 下面求 的值。

方法1：由三次均值有：

当且仅当 ，即 时取值。经检验此时 满足题意。

方法2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为 。

设 ，由 及（Ⅰ）得

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将 ， 代入上式，并令 ，得

，∴ ，

令 得 ，或 （舍去）

当 时， ；当 时 ；当 时，

故当且仅当 时， 有值，即四边形ABCD的面积，故所求的点P的坐标为

09高考数学(文科)试卷和

｛很好找啊 ｝ 上海 数学试卷（文史类）

考生注意：

1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.

2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，

则实数a的取值范围是__________________.

3. 若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是__________________.

4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________________.

5.如图，若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，

高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是___________________

(结果用反三角函数值表示).

6.若球O1、O2表示面积之比 ，则它们的半径之比 =_____________.

7.已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的小值是___________.

8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。

9．过点A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线 交于 两点，则 = 。

10.函数 的小值是 。

11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用简分数表示）。

12.已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 。若 的面积为9，则 .

13.已知函数 。项数为27的等数列 满足 且公 ,若 ，则当k= 时， 。

14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和短。

二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确，考生应在纸的相应编号上，将代表的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

15．已知直线 平行，则K得值是（ ）

（A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2

16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）

17．点P（4，－2）与圆 上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ）

（A） （B）

（C） （D）

18．在发生某公共卫生期间，有专业机构认为该在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ）

（A）甲地：总体均为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方大于0 .

（C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方为3 .

三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分14分）

已知复数 （a、b ）(I是虚数单位)是方程 的根 . 复数 （ ）满足 ，求 u 的取值范围

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .

已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，

，若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；

（1） 若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ ）， 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关

（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121〕,(121,127〕,

(127,133〕.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F ，一条渐近线m: ,设过点A 的直线l的方向向量 。

（1） 求双曲线C的方程；

（2） 若过原点的直线 ，且a与l的距离为 ，求K的值；

（3） 证明：当 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 .

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知 是公为d的等数列， 是公比为q的等比数列

（1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由；

（2）若 （a、q为常数，且aq 0）对任意m存在k，有 ，试求a、q满足的充要条件；

（3）若 试确定所有的p,使数列 中存在某个连续p项的和式数列中 的一项，请证明.

上海 （数学文）参

一、 填空题

1. 2.ɑ≤1 3. 4.

5 6.2 7.-9 8.

9. 10. 11. 12.3

13.14 14（3，3）

二、选择题

题号 15 16 17 18

代号 C B A D

三、 解答题

19.解：原方程的根为

20题。证明：（1）

即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，

为等腰三角形

解（2）由题意可知

由余弦定理可知，

21题。证明（1）当 时，

而当 时，函数 单调递增，且

故函数 单调递减

当 时，掌握程度的增长量 总是下降

(2)有题意可知

整理得

解得 …….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分

22．【解】（1）设双曲线 的方程为

，解额 双曲线 的方程为

（2）直线 ，直线

由题意，得 ，解得

（3）【证法一】设过原点且平行于 的直线

则直线 与 的距离 当 时，

又双曲线 的渐近线为

双曲线 的右支在直线 的右下方，

双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。

故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为

【证法二】设双曲线 右支上存在点 到直线 的距离为 ，

则由（1）得

设 ，

当 时， ；

将 代入（2）得

，方程 不存在正根，即设不成立，

故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为

23．【解】（1）由 得 ，

整理后，可得

、 ， 为整数

不存在 、 ，使等式成立。

（2）当 时，则

即 ，其中 是大于等于 的整数

反之当 时，其中 是大于等于 的整数，则 ，

显然 ，其中

、 满足的充要条件是 ，其中 是大于等于 的整数

（3）设

当 为偶数时， 式左边为偶数，右边为奇数，

当 为偶数时， 式不成立。

由 式得 ，整理得

当 时，符合题意。

当 ， 为奇数时，

由 ，得

当 为奇数时，此时，一定有 和 使上式一定成立。

当 为奇数时，命题都成立。

去买金考卷，有题目有，而且都是详解。不要从网上看试卷，一来网上的一般不全，都是简略版的，填空题往往只有结果；二来网上的东西质量会没有保障；三来从网上看不好自己动手做，不方便。

2009年的全国各地高考真题，地址