前言

解线性方程组的基础解系

在数学中，解线性方程组是线性代数中一项重要内容。基解系是线性方程组解的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和解决线性方程组。本文将介绍基础解系的概念以及如何求解。

什么是基础解系

基础解系是一个由线性方程组所有解线性无关的元素组成的集合。换句话说，基础解系中的任何一个解都不能由其他解线性组合得到。

如何求解基础解系

求解基础解系的方法有两种：

1. 行基本变换

首先将线性方程组化成行阶梯形。然后将阶梯形中的主元变量作为基本变量，其他变量作为自由变量。基础解系由以下两种向量组成：

基本变量对应的单位向量（只对应一个基本变量非零，其他变量为零）。 自由变量对应的任意非零向量（与基本变量对应单位向量线性无关）。

2. 伴随矩阵

设线性方程组的系数矩阵为 A，伴随矩阵为 A。则基础解系中的向量可以通过求解齐次方程组 Ax = 0 的非零解得到。

示例

求解以下线性方程组的基础解系：

``` x + 2y = 3 2x + 4y = 6 ```

行基本变换法：

化成行阶梯形：

``` 1 2 3 0 0 0 ```

基本变量为 x，自由变量为 y。

基础解系：

``` [(1, 0)] [(-2, 1)] ```

伴随矩阵法：

伴随矩阵 A 为：

``` 2 -2 -4 1 ```

求解齐次方程组 Ax = 0：

``` 2x - 2y = 0 -4x + y = 0 ```

得到非零解：

``` x = 1 y = 2 ```

因此，基础解系为：

``` [(1, 2)] ```

总结