导数复合函数求导

得 x'=3 所以 代入 x=3k 有 y'=2x 3=2(3k)3=18k

复合函数求导法则

新高考复合函数的导数公式 新高考复合函数的导数公式是什么

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若h(a)=f[g(x)]

中文名

链式法则

则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)外文名

chain rule

适用领域范围

应用学科

数学

导数表导数公式求导公式大全导数公式大全复合函数求导公式函数求导公式大全导数公式及运算法则导函数公式大全复合函数求导公式大全导数的基本公式

证明

证法一

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

证明:设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明:由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二:y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)(du/dx)

证明:因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

最终有dy/dx=(dy/du)(du/dx)

举例

设f(x)=3x，g(x)=3x+3，求g(f(x))的导数

可令t=f(x)=3x

明确在计算步骤中是对哪个变量求导是复合函数求导的关键

如在上面步骤中求g′(t)也即g′(f(x))时的变量是t，也即f(x)

复合函数的求导公式

求一个复合函数求导的例子

1、要清楚不同的函数的定义域，以及函数的各项参数，这是进行复合函数求导的前提。

复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

举个例子来说：F(x)=In(2x原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以就是2/(2x+5)。+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）

原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u

中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2

其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方， v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，

要多练练，并且熟记基本函数求导公式。

举个简单的例子

如y=x^2 其中x=3k 对其求导

就是 先把 x^2 求导 为2x 在这里 因为 x还有 x=3k 的关系

对x求导 即 对3k 求导 就像 y=x^2 求导一样 对x=3k 求导

你可以比较一下 如果一开始 我就把x=3k 代入的话 就是y=(3k)^2=9k^2

可以看出 复合函数与普通函数的区别 复合函数中的嵌套了普通函数

你对复合函数求导 就像在这里 其中自变量就相当于一个普通函数 当然要再对其求导咯

就是你说的外导乘内导了 具体的概念定义我已经忘了 静下心 好好去理解吧 相信你以后会觉得很简单的 无意间 一不小心点了你的提问 呵呵呵 祝学业有成啊 ^ - ^

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复合求导的公式是什么？

计算复合函数的导数时，关键是分析清楚复合函数的构造，即弄清楚该函数是由哪些基本初等函数经过这样的过程复合而成的，求导数时，按复合次序由最外层起，向内一层一层地对中间变量求导数，直到对自变量求导数为止。

上限是复合函数的变上限积分的求导法则：

上限是复合函数的变上限积分的求导法则，其证明见上图。

你的中的公式2是一般的变限函数求导公式，你的中的1式则lim(Δx->0)α=0，是2的特殊情况。用到原函数，复合函数求导等。

导数的求导法则

由基本函数的和、、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

复合函数的导数怎么算？

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1、链式法则对其求导 便是 y'=18k：

（f'[g(x)]中g(x) 看作整个变量，而g'(x) 中把x看作变量）。

扩展资料：

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。例如：

如果f是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当f的导函数恒为零时，f是常数。 对预序间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定义域是一个格，那么f一定是一个常数函数。

参考资料来源：

参考资料来源：

复合函数求导基本公式

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

复合函数求导的基本公式是链式法则（Chain Rule），也称为乘积法则（Product Rule）。

一、概述

设有两个函数f和g，f（x）和g（x），如果它们都可导，那么复合函数f（g（x））的导数可以用链式法则求得。具体来说，设f（u）和g（x）的导数分别是f'（u）和g'（x），那么复合函数f（g（x））的导数是f'（u）g'（x）。

二、使用注意事项

要将复合函数分解为不同函数，再分别求每一部分函数的导数，然后将所有的导数求乘积，就能得到复合函数的导数。

2、在计算复合函数的求导公式时，必须要清楚不同的函数的定义域，以及函数的各项参数。

拓展： 设函数y=f（u）的概念域为Du，值域为Mu，函数u=g（x）的概念域为Dx，值域为Mx，如 Mx∩Du≠? 概念域：若函数y=f（u）的概念域是B,u=g（x）的概念域是A,则复合函数y=f[g（x）]的概念域是D= {x|x∈A,且g（x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的2、y=uv，则y'=u'v+uv'（一般的莱布尼茨公式）。交集。

3、周期性：设y=f（u）的最小正周期为T1,μ=φ（x）的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为 T1T2，任一周期可表示为kT1T2（k属于R+）。

4、单调（增减）性的决定因素：依y=f（u），μ=φ（x）的单调性来决定。

复合函数求导的基本公式的应用领域

1、物理学

在物理学中，复合函数的导数有着广泛的应用，尤其在研究物体的加速度时，首先要考虑复合函数的导数。

2、数学

在数学领域，复合函数的导数可以用来求解曲面积、面积、质量、长度和重力等。

3、经济学

在经济学中，复合函数的导数可以用来研究需求曲线和供给曲线，以及预测市场变化等。

复合函数求导公式有哪些

微积分

复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。下面是由我为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数

复合函数求导公式有哪些

若h(a)=f[g(x)]

拓展阅读：复合函数的奇偶性

复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;

若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。

1、f(x)g(x)h(x)这种相乘的复合函数。

奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。

函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。

函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

复合函数的单调性的判断方法

复合函数单调性就2句话：

2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数

简单记法：负负得正,正在得正,负正得负

复合函数求导运算法则

链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。

有关复合函数求导运算法则如下：

链式法则(chain rule)

复合函数求导的运算法则是链式法则。如果有两个函数f(x)和g(x)，我们可以将g的函数值作为 f的自变量，得到一个新的函数称为f(g(x))。那么，复合函数f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)14

这个公式表明，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘以内层函数对自变量求导的结果。需要注意的是，根据链式法则，我们需要先求出内层函数g(x)对自变量x的导数 g'(x)，然后再求出外层函数f(u)对自变量u的导数f'(u)，其中u=g(x)。，将这两个导数相乘得到复合函数f(g(x))的导数。

复合函数求导的链式法则在微积分中有广泛的应用场合：

1、在描述物体的运动时，常常涉及到多个函数的复合。例如，当我们需要求解速度、加速度等与时间相关的导数时，就需要使用链式法则来求解。

2、在经济学中，边际分析是研究单位变化对整体变化的影响。复合函数求导的链式法则可以帮助我们计算边际效应，从而更好地理解经济现象。

3、在控制系统中，常常需要对信号进行处理和转换。复合函数求导的链式法则可以帮助我们分析和设计控制系统的动态特性。

4、神经网络是一种常用的机器学习模型，其中涉及到大量的复合函数。链式法则在神经网络的训练过程中起到了关键作用，帮助我们计算梯度并更新模型参数。

5、在自然科学研究中，常常需要建立数学模型来描述和解释现象。复合函数求导的链式法则可以帮助我们推导出模型的导数，从而更好地理解和解释实验结果。

复合函数求导

复合函数的求导公式

你是问复合函数求导时又有分数又有复合函数的时候怎么求导吧？这要看函数的结构的，如果分子分母都是复合函数，如y=sintanx/(1+e^2x)就要先用两个函数商的求导法则，其中求分子和分母的导数时又要3、反函数求导法则：y=f(x) 的反函数是x=g(y) ，则有用锁链法则，如果是复合函数的中间变量是分数，如y=sin(1+e^x/2x)要先用锁链法则，其中中间变量的导数要用商的求导法则

根据我所学的高数，您的问法我是不能理解的。复合函数求导就是简单的整体求导，然后是被复合的函数求导链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。"，这两次求导是乘积关系，这样就可以了。而您问的分数型是怎么理解的。

复合函数求导公式怎么推的

则g(f(x))的导数=g′(t)f(x)′=(3t+3)′×(3x)′=3×3=9

我是一名高中生，也没学过什么大学课本，但我可以帮你解决这一般的，如果函数u=φ(x)以及 v=ψ(x)都在点x处可导，函数 z=f(u,v)在对应点(uv)处可微则复合函数z=f(φ(x),ψ(x))在x处可导，这个函数在x处的导数叫做全导数。且有dz/dx=dz/dudu/dx+dz//dx。个问题，导数是什么，是k,k是什么。是(y1-y2)÷(x1-x2).那么对于一个复合函数。(z1-z2)÷(y1-y2)的值乘以(y1-y2)÷(x1-x2)等于(z1-z2)÷(x1-x2).所以可证明书上公式。

二元复合函数的全导数公式

奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

dz/dx=dz/dudu就仿佛两个普通函数的导相乘 其中一个要代入关系 就像这 因为要都以k 表示出来/dx+dz//dx。