高考数学函数求值域的十二种方法

一条直线，

一.观察法

高考数学观察函数图像 观察函数图像时要注意哪些问题

高考数学观察函数图像 观察函数图像时要注意哪些问题

高考数学观察函数图像 观察函数图像时要注意哪些问题

若f(x)＜g(x)即0＜a＜e^(-2)时，两函数有两交点

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

=sin(x+70°)

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

六.图象法

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

十一.利用多项式的除法

例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

十二.不等式法

例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

高三数学，三角函数及三角函数的图像与性质

根据周期函数的定义，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则这个函数就是周期函数。

1、sin(x+10°)+cos(x+40°)=sin(x+10°)+sin(x+130°)=2sin(x+70°)cos60°=sin(x+70°)值为1

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

另：y=sin(x+70°-60°)+cos(x+70°-30当a＞0时，抛物线开口向上，显然在x＞0范围内不等式必然有解°)

=sin(x+70°)/2-√3cos(x+70°)/2+√3cos(x+70°)/2+sin(x+70°)/2

2、T=8-2=6，ω=π/3

f(x)=Asin(πx/3+φ)

x=3为对称轴，f(3)=Asin(π+φ)=A，所以φ=-π/2

f(x)=Asin(πx/3-π/2)

πx/3-π∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]

解得[6k+3/2,6k+9/2]，k∈Z

【高考数学】函数两道题，之一。（点击见大图。可加分。）

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

解：h'(x)=1/x-ax-2,要存在单调递减区间，即h'(x)＜0有解

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

由f(x)和g(x)可以得出h(x)定义域为x＞0

.若函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是()

故h'(x)＜0可以化简为ax^2+2x-1＞0

当a=0时，2x-1＞0，显然有解

当a＜0时，抛物线开口向下，此时要使不等式大于0，从几何来看抛物线必须与x轴有交点而且为两个

故可以转化为ax^2+2x-1=0有两个不同的解

由b^2-4ac＞0有：4+4a＞0

解得-1＜a＜0

综合以上，可得：a＞-1

（2）从几何上来看

f(x)=ax与g(x)=lnx-1只可能在象限相交，而且x＞0时f(x)初始值比g(x)高

取F(x)=f(x)-g(x)=ax-lnx+1

F'(x)=a-1/x

只有当0＜x≤1/a时，F(x)单减，即f(x)与g(x)的将缩小

而当x＞1/a时，F(x)单增，f(x)与g(x)的将增大

于是可以理解为在象限随着x的增加，f(x)与g(x)的距将先缩小后增大。

因此在x=1/a时，f(x)与g(x)的距将最小

当x=1/a时，f(x)=1，g(x)=ln(1/a)-1=-lna-1

此时若f(x)＞g(x)即a＞e^(-2)时,两函数无交点

若f(x)=g(x)即a=e^(-2)时，两函数有交点

高数怎么判断周期函数

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于中任何一个数，在中都有确定的数和它对应，那么这样的对应（包括，以及到的对应法则）叫做到的一个函数，记作．

高数判断周期函数的方法有：定义法、图像法、公式法、反证法。

⑤中，．

1、定义法

2、图像法

对于一些较为简单的函数，可以通过观察其图像来判断是否为周期函数。如果一个函数的图像每隔一段时间就会重复出现，那么这个函数就是周期函数。

3、公式法

对于一些三角函数和指数函数等较为常见的周期函数，可以通过其公式来判断是否为周期函数。正弦函数sin(x)的周期为2π，指数函数e^(x)的周期为iπ等等。

周期函数在高等数学中的应用

1、傅1．定义里叶级数

傅里叶级数是一种将周期函数表示成无穷级数的方法。

它可以将复杂的周期函数分解成简单的正弦波和余弦波的叠加。这种方法在信号处理、振动分析等领域中有着广泛的应用。

2、调和分析

调和分析是研究函数在某种变换下的性质及其应用的一门数学分支。

周期函数作为一种特殊的函数，在调和分析中也有着广泛的应用，研究函数的傅里叶变换等。

3、微分方程

微分方程是高等数学中的一门重要分支，它研究的是变量之间的依存关系。

周期函数的周期性和稳定性对于研究微分方程的解的性质和稳定性有着重要的影响。一些物理现象中的振动问题就可以转化为微分方程来求解。

4、数值计算

在一些数值计算中，周期函数的周期性可以用来加速计算。

对于一些具有周期性的数值积分问题，可以利用傅里叶变换等方法将积分转化为求解一些简单的常数积分问题，从而大大加快计算速度。

【高考题】数学二次函数图像怎么判断？

打开几何画板软件，以“飞狐无参版”为例，先建立平面直角坐标系，在横坐标上任取一点，度量该点的横坐标值，将属性里的标签改为x，再点击“数据”菜单下的“计算”，在弹出框里依次输入：2、度量值、+、3，点“确定”按钮，再将属性里的标签改为y，点击“绘图”菜单下的“绘制点”，在弹出框里前者输入度量值，后者输入计算值，按“绘制”按钮后，坐标内会自动生成对应点，依次点选绘制点和横坐标上的动点，再点击“构造”菜单下的“轨迹”，函数图像绘制完成（如图3）。

a的正负决定图像开口方向，a>0 开口向上

A.y=x2 B.y=|x|+1

对称轴为x=-b/2a, 顶点为(-b/2a,(4ac-4、反证法b^2)/4a),与y轴交点为（0，c） b^2>4ac,与x轴有两个交点，b^2=4ac 有一个交点，b^2<4ac无交点

怎样在数学上绘函数的图像？

即设f(x)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(x)不是周期函数。这种方法适用于一些难以直接判断或求出周期的情况。

常见的几种函数图像绘制方法。

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

一、直接绘制函数图像

打开几何画板软件，点选“绘图”菜单下的“绘制新函数”就会弹出右图的输入框。例如我们要绘制一次函数y=2x+3：在输入框输入2x+3，选择“方程”按钮里的y，再点击“确定”按钮，绘图区就自动生成函数图像（如图1）。

此函数图像为满屏，且平面直角坐标系没有正方向，系统平面直角坐标系还自带网格，所以本人很少用这种方法绘制函数图像。

二、利用参数绘制函数图像

同样要绘制函数y=2x+3的图像，我们可以先建立参数再绘制图像：点选“数据”菜单下的“新建参数”，在弹出框里将“名称”改为k，“数据”填写2，按“确定”按钮后，再建参数b=3，建立好参数后，点选“绘图”菜单下的“绘制新函数”，在弹出框内依次输入参数b、、x、+和参数c，点击“确定”按钮后，自动生成如图1的函数图像。

利用此方法绘制函数图像，我们可以在建好参数与函数后，用“自定义工具”里的坐标系，例如选用“飞狐无参版”，建立平面直角坐标系后，再次点选“函数生成工具”，点击函数y=kx+b后，图像就生成了。

所生成的函数图像自变量x的取值范围与坐标系的横坐标有关，能避免满屏。(如图2)

三、利用轨迹绘制函数

四、利用自定义变换绘制随动函数

这种函数图这是简单的一次函数，它的图像就是一条直线，因为y=x，所以图像就是经过原点，45°角贯穿，第三象限的直线。像绘制方法类似于利用轨迹绘制函数图像，先建立平面直角坐标系（飞狐无参版），在横坐标上取线段AB，再在线段AB上任取一点C，度量点C的横坐标值，修改标签为x，计算2x+3的值，修改标签为y，以x、y的值为横、纵坐标绘制点，依次选择绘制点与线段AB上的动点C，再点选“变换”菜单下的“创建自定义变换”，点“确定”按钮，用“线段”工具连接AC，再次点选绘制点与线段AC，选择“变换”菜单下的“变换1”，随动函数生成，此函数图像会随着点C的变化而变化（如图4）。

高中数学所学的函数的特性？性质？图像画法？

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

对数函数

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数。

（2）对数函数的值域为全部实数。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1（2） 指数函数的值域为大于0的实数。大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数。

指数函数

指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

（1） 指数函数的定义域为所有实数的，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则A.增函数 B.减函数为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点。

（8） 显然指数函数。

奇偶性

注图：（1）为奇函数（2）为偶函数

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3. 奇偶函数运算

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于A中的任意一个数x，在B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为A到B的一个函数，记作y=f(x),x属于A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的

常用的求值域的方法

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的（即中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的（即中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

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2015年高考数学专项练习题：函数的单调性与最值

10.已知函数f(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题：

一、选择题

1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)内单调递减的函数是().

C.y=-lg|x| D.y=2|x|

解析对于C中函数，当x>0时，y=-lg x，故为(0，+∞)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.

C

.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)

C.(-1,0)(0,1) D.(-∞，-1)(1，+∞)

解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)

|x|>1，解得x>1或x<-1.

D

C.先增后减 D.先减后增

解析y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，

a<0，b<0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-<0，

y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.

B

4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().

A.(-∞，0] B.[0,1)

C.[1，+∞) D.[-1,0]

解析g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.

B.函数y=-x2+2x-3(x<0)的单调增区间是()

A.(0，+∞) B.(-∞，1]

C.(-∞，0) D.(-∞，-1]

解析二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-∞，0).

C

.设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().

A.(-∞，0) B.(0，+∞)

C.(-∞，-1) D.(1，+∞)

解析f(x)=

f(x)=

f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-∞，-1).

C二、填空题

.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.

解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.

当-2≤a<1时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a≥1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.

综上，g(a)=

.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.

解析y=-(x-3)|x|

=作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.

.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________.

解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-∞，3)上为减函数;当a>0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即≥3，故0

函数f(x)的最小值是-1;

函数f(x)在R上是单调函数;

若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1;

对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有

其中正确命题的序号是____________.

解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)>0在上恒成立，则2a×-1>0，a>1，故正确;由图象可知在(-∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f成立，故正确.

三、解答题

.求函数y=a1-x2(a>0且a≠1)的单调区间.

当a>1时，函数y=a1-x2在区间[0，+∞)上是减函数，在区间(-∞，0]上是增函数;

当0x1≥2，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，

由x2>x1≥2，得x1x2(x1+x2)>16，x1-x2<0，

x1x2>0.

要使f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，

即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立，则a≤16.

.已知函数f(x)=a·2x+b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性;

(2)若abf(x)时的x的取值范围.

解(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.

(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.

(i)当a0时，x>-，

(ii)当a>0，b<0时，x<-，

解得x0在统计学和数据分析中，y = x 函数常用于进行简单线性回归分析。通过拟合一条拟合直线，可以研究自变量 x 和因变量 y 之间的关系，并进行预测和推断。时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数;

(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)1.

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.

f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数.

(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1.线性关系建模1=5，

f(2)=3，

原不等式可化为f(3m2-m-2)

谁能总结函数图像知识点？谢啦

解得x>log;

高中数学函数知识点总结 1. 对于，一定要抓住的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行的交、并、补运算时，不要忘记本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解问题。 空集是一切的子集，是一切非空的真子集。 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： 要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有 种选择， 即A有 个子集。当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 ，非空真子集个数为 （3）德摩根定律：有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 注意，有时候由本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 上单调递减，在 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根5、熟悉命题的几种形式、 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同；逆命题与否命题同真同。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） 满足条件 ， 满足条件 ，若 ；则 是 的充分非必要条件 ；若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 是 的充要条件 ；若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法： l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；l ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。 复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由 解出x的范围，即为 的定义域。例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 。分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。解：依题意知： 解之，得 ∴ 的定义域为 11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y= 的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y= 值域。 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y= ， ， 的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y= （2≤x≤10）的值域 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+ 的值域。 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上， 例求函数y= + 的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y= + 的值域解：原函数可变形为：y= + 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y =∣AB∣= = ，故所求函数的值域为[ ，+∞）。注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：

倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y= 的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。