导言

重新定义的标题：反余弦函数导数的详尽指南

反余弦函数（arccos x）在数学和许多应用领域中都有着广泛的应用。了解其导数对于分析涉及反余弦函数的函数至关重要。本文将深入探讨 arccosx 的导数，提供一个全面的指南。

导数公式

arccosx 的导数可以表示为：

``` d/dx (arccosx) = -1 / √(1 - x^2) ```

推导

以下推导基于三角恒等式：

``` cos(arccosx) = x ```

对两边求导：

``` -sin(arccosx) d/dx (arccosx) = 1 ```

整理得出：

``` d/dx (arccosx) = -1 / sin(arccosx) ```

然后，使用三角恒等式：

``` sin(arccosx) = √(1 - cos^2(arccosx)) = √(1 - x^2) ```

代入得到最终公式：

``` d/dx (arccosx) = -1 / √(1 - x^2) ```

几何解释

arccosx 的导数可以几何地解释为：

设 θ = arccosx，那么：

cosθ = x sinθ = √(1 - x^2)

根据三角形的基本关系，我们可以看到：

``` dθ / dx = 1 / sinθ ```

这是因为 dθ/dx 等于反余弦函数的斜率，而 sinθ 是与 x 轴相邻边的长度。

应用

arccosx 的导数在以下领域中有着广泛的应用：

积分：求解涉及 arccosx 的积分 微分方程：求解涉及 arccosx 的微分方程 物理：分析涉及反余弦函数的物理系统，例如光学和天文学

结论