简介

空间点到直线的距离公式

在三维空间中，求解空间点到直线的距离是几何学中的一个常见问题。空间点到直线的距离公式提供了一种简便的方法来计算该距离。

公式

空间点 P(x₁, y₁, z₁) 到直线 l：ax + by + cz + d = 0 的距离公式为：

``` 距离 = |(ax₁ + by₁ + cz₁ + d) / √(a² + b² + c²) | ```

其中，a、b、c 和 d 是直线 l 的方向向量和截距。

证明

假设空间直线 l 的方程为：

``` x = s + t(u₁, u₂, u₃) ```

其中 (s, 0, 0) 是直线上的一个已知点，(u₁, u₂, u₃) 是直线的方向向量，t 是一个参数。

由空间点 P(x₁, y₁, z₁) 到点 (s, 0, 0) 的向量为：

``` PQ = (x₁ - s)i + (y₁ - 0)j + (z₁ - 0)k ```

而从点 (s, 0, 0) 到点 Q(x, y, z) 的向量为：

``` t(u₁, u₂, u₃) = tuᵢ + tu₂j + tu₃k ```

为了找到 PQ 向量在直线方向向量上的投影，我们将其投影到 t(u₁, u₂, u₃) 上：

``` 投影 = PQ ⋅ t(u₁, u₂, u₃) / |t(u₁, u₂, u₃)|² ```

投影向量是空间点 P 到直线 l 的距离乘以直线的方向向量。因此，距离为：

``` 距离 = |投影| / |(u₁, u₂, u₃)| = |(PQ ⋅ t(u₁, u₂, u₃)) / (a² + b² + c²) | ```

代入 PQ 向量的表达式并简化后，得到空间点到直线的距离公式：

``` 距离 = |(ax₁ + by₁ + cz₁ + d) / √(a² + b² + c²) | ```

应用

空间点到直线的距离公式在许多领域都有广泛的应用，包括：