几何分布是离散概率分布，它表示成功需要多少独立尝试才能实现。该分布特别适用于在独立尝试中某事件的概率保持不变的情况，直到该事件发生。几何分布的期望是一个重要的参数，它描述了成功所需的平均尝试次数。

几何分布的期望：基础知识与应用

定义

几何分布的概率质量函数为：

``` P(X = k) = (1 - p)^k p ```

其中：

X 是成功所需的尝试次数 p 是每次尝试中成功的概率

期望

几何分布的期望定义为成功所需的平均尝试次数。它可以表示为：

``` E(X) = 1/p ```

证明

E(X) 可以通过求出 X 各个可能值的加权平均值来计算：

``` E(X) = Σ[k P(X = k)] = Σ[k (1 - p)^k p] ```

使用求和公式 Σ[k (1 - p)^k] = 1/(p^2) 得出：

``` E(X) = (1/p) p = 1/p ```

应用

几何分布的期望在各种实际应用中很有用，例如：

制造业：在生产过程中，计算生产合格产品的平均尝试次数。 医学：确定新药治疗成功所需的平均剂量或实验次数。 金融：评估投资产生收益所需的平均交易次数。 网络可靠性：计算数据包在网络上传输成功所需的平均尝试次数。

示例

假设一场比赛中有 40% 的几率获胜。那么，获胜所需的平均尝试次数为：

``` E(X) = 1/p = 1/0.4 = 2.5 ```

这意味着获胜需要进行大约 2.5 次尝试。

结论