证明余弦定理

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余弦公式的证明(余弦公式证明诱导公式)

余弦公式的证明(余弦公式证明诱导公式)

余弦定理及其证明

1.三角形的正弦定理证明：

步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

2.三角形的余弦定理证明：

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinBc)^2+(a-cosBc)^2

b^2=sin^2Bc^2+a^2+cos^2Bc^2-2accosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)c^2-2accosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2accosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2abcosC

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

下面在锐角△中证明个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2aCD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2aCD

因为cosC=CD/b

所以CD=bcosC

所以c^2=a^2+b^2-2abcosC

望采纳。祝楼主学习进步~_~

余弦定理如何证明？

1–cosx的a次方等价无穷小1/2ax^2。

1-cos(ax)～1/2(ax)^2。

1-cos^a(x)～a/2×(x^2)。

所以得证。

具体回答如图：

cos公式的其他资料：

它是周期函数，其小正周期为2π。在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角。

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

证明余弦定理

答：余弦定理的证明如下。

余弦定理和正弦定理在运用的过程中，通过是和三角函数联系在一起，通过余弦和正弦的定义以及使用特点，求出关于三角形以及面积函数关系式。

本文主要从向量法、三角函数法、辅助圆法来讲解证明余弦定理！

1、向量法

2、三角函数法

3、辅助圆法

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。

直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活。

如何证明余弦公式？

辅助角公式

对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2) ∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(b/a)) 这就是辅助角公式． 设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b)

证明过程

设acosA+bsinA=xsin(A+M) ∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA) 由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x ∴x=√(a^2+b^2) ∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=a/

求余弦定理的证明过程

平面向量证法∵有a+b=c

(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2abCosC

即CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC

a2=b2+c2-2bccosA

例题：在三角形ABC中，已知c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为7/2，求变长a

在三角形ABC中，若a-b=ccosB - ccosA,判断三角形的形状

在三角形ABC中，a是边，若a^2＜b^2+c^2，则求A的取值范围

解：1。因为余弦定理所以(a/2)^2+(7/2)^2-16=(7a/2)cosADB=-(7a/2)cosADC=-[(a/2)^2+(7/2)^2-49)]，所以a^2+49=130，所以a^2=81，所以a=9。

2。因为余弦定理所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，所以(ba^2+bc^2-b^3-ab^2-ac^2+a^3)/2ab(a-b)=1，所以(a^2+2ab+b^2-c^2)/2ab=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab+1=1，所以(a^2+b^2-c^2)/2ab=0，所以a^2+b^2-c^2=0，所以是直角三角形。

3。设b>c，因为a^2

余弦定理 证明

余弦定理证明有8，9种证明方法

简单的用向量，向量AB-向量AC=向量CB

两边平方得（向量AB-向量AC）^2=向量CB^2

得AB^2-2AB点AC+AC^2=CB^2

AB点AC=AB模乘AC模乘cosA

即c^2-2bccosA+b^2=a^2