伴随矩阵是一个与给定矩阵相关的特殊矩阵，在数学和线性代数中有着重要的应用。其公式如下：

伴随矩阵公式的应用与证明

伴随矩阵公式： 设 A 是一个 n×n 矩阵，则其伴随矩阵 Adj(A) 为：

``` Adj(A) = Cᵀ ```

其中 C 是余因子矩阵，它是由 A 的各元素的代数余子组成的矩阵。

应用： 伴随矩阵在以下应用中扮演着重要的角色：

求解线性方程组：对于齐次线性方程组 Ax = 0，如果 Adj(A) ≠ 0，则方程组有唯一的平凡解。 求解行列式：对于 n×n 方阵 A，其行列式可以表示为：

``` det(A) = det(Adj(A)) ```

求解逆矩阵：如果 A 是非奇异矩阵（即 det(A) ≠ 0），则其逆矩阵为：

``` A⁻¹ = (1 / det(A)) Adj(A) ```

证明： 伴随矩阵公式的证明可以通过展开 Cᵀ 的每一列来实现。设 A 的第 j 列为 (a₁ⱼ, a₂ⱼ, ..., aₙⱼ)ᵀ。则 Cᵀ 的第 j 列为：

``` (Aᵢⱼ)ᵀ = ((-1)^(i+j) Mᵢⱼ)ᵀ ```

其中 Mᵢⱼ 是 A 去掉第 i 行和第 j 列后得到的 (n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式。

展开 Cᵀ 的每一列并计算每一列与 A 的第 j 列的乘积，可得到：

``` Cᵀ Aⱼ = det(A) (1, 0, ..., 0)ᵀ ```

其中 Aⱼ 是 A 的第 j 列。

由此可知，Adj(A) A = det(A) I，其中 I 是单位矩阵。取行列式，可得到：

``` det(Adj(A)) det(A) = det(I) = 1 ```

因此，det(Adj(A)) = 1 / det(A)。将此代入公式 det(A) = det(Adj(A))，可得到：

``` det(A) = det(Adj(A)) det(A) = 1 ```