简介

三角形内切圆半径公式：概念与运用

内切圆是指内接于三角形且与三角形所有边相切的圆。内切圆的半径可以通过特定的公式计算，称为三角形内切圆半径公式。

公式

设三角形三边长分别为 a、b、c，半周长为 s，则三角形内切圆半径 r 的公式为：

``` r = (s - a)(s - b)(s - c)/s ```

其中：

s = (a + b + c)/2

推导

三角形内切圆半径公式的推导基于以下原理：

内切圆的半径是三角形三边和半周长之差的几何平均值。 三角形面积可以表示为：

``` K = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) ```

利用上述原理，我们可以推导出内切圆半径公式：

``` r = √(K/s) = √((s - a)(s - b)(s - c)/s) ```

运用

三角形内切圆半径公式在计算三角形几何性质时非常有用，例如三角形面积、三角形外接圆半径等。它还可以用于解决各种几何问题，例如：

求一个内接于单位圆的三角形面积最大值。 求一个内切于特定圆的三角形边长和。 证明某些几何定理，例如：

> 设三角形 ABC 内切于圆 O，若∠BAC = 120°，则三角形 OAB、OBC、OCA 的面积相等。

实例

已知三角形 ABC 三边长为 a = 3、b = 4、c = 5，求其内切圆半径。

``` s = (3 + 4 + 5)/2 = 6 r = ((6 - 3)(6 - 4)(6 - 5))/6 = 1 ```