数学家帕斯卡的故事

∴（a+b）^20第三项系数为1+2+3+…+19=190，

帕斯卡(1623-1662)，法国数学家、物理学家、近代概率论的奠基者。他提出一个关于液体压力的定律，后人称为帕斯卡定律。他建立的直觉主义原则对于后来一些哲学家，如卢梭和伯格森等都有影响。

帕斯卡三角形 帕斯卡三角形内角和

帕斯卡三角形 帕斯卡三角形内角和

不难发现（a+b）^n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），

笛卡儿坚决不相信17岁的孩子能够写出来这样的书，帕斯卡反过来也不承认笛卡儿的解析几何的价值。1642年，刚满19岁的他，设计制造了世界上架机械式计算装置——使用齿轮进行加减运算的计算机，原只是想帮助他父亲计算税收用，这是他为了减轻父亲计算中的负担，动脑筋想出来的，却因此而闻名于当时，它成为后来的计算机的雏型。在加法机研制成功之后，帕斯卡认为：人的某些思维过程与机械过程没有别，因此可以设想用机械模拟人的思维活动。

1646年他为了检验意大利物理学家伽利略和托里拆利的理论，制作了水银气压计，在能俯视巴黎的克莱蒙费朗的山顶上反复地进行了大气压的实验，为流体动力学和流体静力学的研究铺平了道路。实验中他为了改进托里拆利的气压汁，他在帕斯卡定律的基础上发明了注射器，并创造了水压机。他关于真空问题的研究和著作，更加提高了他的声望。

他从小就体质虚弱，又因过度劳累而使疾病缠身。然而正是他在病休的1651～1654年间，紧张地进行科学工作，写成了关于液体平衡、空气的重量和密度及算术三角形等多篇论文，后一篇论文成为概率论的基础。在1655~1659年间还写了许多宗教著作。晚年，有人建议他把关于旋轮线的研究结果发表出来，于是他又沉浸于科学兴趣之中，但从1659年2月起，病情加重，使他不能正常工作，而安于虔诚的宗教生活。，在巨大的病痛中逝世。

帕斯卡定律是流体（气体或液体）力学中，指封闭容器中的静止2、第n行的数字个数为n个。流体的某一部分发生的压强变化，将毫无损失地传递至流体的各个部分和容器壁。帕斯卡首先阐述了此定律。压强等于作用力除以作用面积。根据帕斯卡原理，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是个活塞的面积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为个活塞的10倍，而两个活塞上的压强仍然相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。帕斯卡还发现：静止流体中任一点的压强各向相等，即该点在通过它的所有平面上的压强都相等。这一事实也称作帕斯卡原理（定律）。

帕斯卡在数学方面的贡献也很杰出。1639年，他在一篇出色的数学论文《论圆锥曲线》，提出了一条定理，后人把它叫做帕斯卡定理。他还提出了有名的帕斯卡三角形，阐明了代数中二项式展开的系数规律。数学家德札尔格非常欣赏帕斯卡的才华，把这个曲线命名为 “帕斯卡神秘六线形”，并亲自担任了帕斯卡的教师。

什么叫美丽三角形

（a+b）^4的第三项系数为6=1+2+3；

美丽的三角是帕斯卡三角。

数学史上总是充满着各种各样惊人的巧合，关于牛顿和莱布尼茨到底谁先发明了微积分；商高和希伯索斯分别先后发现了勾股定理。今天要讲的这个巧合，诞生于浙江杭州（古之为钱塘），美丽的西子湖畔，也是笔者的故乡。

相关介绍：

杨辉三1 4 6 4 1 n=4角是数学史上的一个伟大成就。

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种(A+B)的20次方第三项的系数是：190几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角是古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

帕斯卡的主要著作是什么？

7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第n行。

帕斯卡(1623～1662年)，法国数学家、物理学家、哲学家。1654年，他提出二项式展开系数的三角形排列法，即帕斯卡三角形。1651～1654年，他提出了的帕斯卡定理。他的物理学主要著作有：《关于真空的新实验》、《液体平衡的大量实验之报导》、《论液体的平衡和空气的重量》。在哲学方面，主要著作有《思想录》。为纪念帕斯卡研究大气压强所做的贡献，压强的单位帕斯卡以他的姓氏而命名。帕斯卡首先是一位科学家，他是近代概率论的奠基者。他又是一位哲学家，其思想理论集中表现在《思想录》一书中。他所建立的直觉主义原则对后来的一些哲学家如卢梭、柏格森以及存在主义者很有影响。

《思想录》一书可分作根据公式：(a+b)^20=(a+b)^10(a+b)^10两个部分。部分未提及宗教，仅仅只陈明人性的堕落。第二部分从圣经证明救世主的存在。帕斯卡尔对《圣经》的解释非常严格，显示他是一位不合时宜的基本教义主义者，致使第二部分失去说服力，介绍不过对生活在和宇宙的个人先锋形象的描绘仍不失迷人之处。

帕斯卡将人类的知识分成的、理性的和精神心灵三种，其论证特性是将严格的限制强加于理性之上，甚至在自然科学、尤其在宗教方面。在帕斯卡的术语中，心灵为理性提供基本的观念，例如时间和空间，同时也运用在与推理无关的情绪、审美学和宗教领域中。

介绍一下帕斯卡尔

1646年前帕斯卡一家都信奉。由于他父亲的一场病，使他同一种更加深杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。奥的宗教信仰方式有所接触，对他以后的生活影响很大。帕斯卡和数学家费马通信，他们一起解决某一个上流的徒兼业余哲学家送来的一个问题，他弄不清楚他掷三个出现某种组合时为什么老是。在他们解决这个问题的过程中，奠定了近代概率论的基础。在他暂短的一生中作出了许多贡献，以在数学及物理学中的贡献。

布莱士·帕斯卡（1623年6月19日－1662年8月19日）是法国数学家、物理学家、思想家。家庭生於克莱蒙费朗，早逝於巴黎。父亲是数学家、“梅森学会”成员，对 布莱士·帕斯卡他的早期教育影响很大。他自幼聪颖，求知欲极犟，12岁始学几何，即通读欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Elements）并掌握了它。16岁时发现的帕斯卡六边形定理：内接於一个二次曲缐的六边形的三双对边的交点共缐。据说他後来由此推出400多条推论。17岁时写成《圆锥曲缐论》(1640)，是研究德札尔格（Girard Desargues）射影几何工作心得的论文，包括上述定理。论摆缐这些工作是自希腊阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）以来圆锥曲缐论的进步。1642年他设计并制作了一台能自动进位的加减法计算装置，被称为是世界上台数字计算器，为以後的计算机设计提供了基本原理。1654年他开始研究几个方面的数学问题，在无穷小分析上深入探讨了不可分原理，得出求不同曲缐所围面积和重心的一般方法，并以积分学的原理解决了摆缐问题，於1658年完成《论摆缐》。著作他的论文手稿对莱布尼茨（Gottfried Leibniz）建立微积分学有很大启发。在研究二项式系数性质时，写成《算术三角形》向巴黎科学院提交，後收入他的全集，并於1665年发表。其中给出的二项式系数展开後人称为“帕斯卡三角形”，实际它已在约1100年由的贾宪所知。在与费马（Pierre Fermat）的通信中讨论金分配问题，对早期概率论的发展颇有影响。他还制作了水银气压计（1646），写了液体平衡、空气的重量和密度等方向的论文（1651－1654）。自1655年隐居修道院，写下《思想录》（1658）等经典著作。

布莱兹·帕斯卡尔（Blaise Pascal，1623-1662）是法国十七世纪的思想家，一生体弱多病，只活了三十九岁，但在身后却为自拓展资料：己留下了高耸的纪念碑。他的主要著作是《外省通信》和《思想录》，前者常被看作是法国古典主义散文的奠基之作，后者则为哲学和宗教方面的探讨提供了丰富的源泉，成为人因思想而伟大的一个明证我的

帕斯卡一生有哪些重要成就？

、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

帕斯卡(又译帕斯卡尔，1623～1662年)，法国数学家、物理学家、哲学家。1654年，他提出二项式展开系数的三角形排列法，即帕斯卡三角形。1651～1654年，他提出了的帕斯卡定理。

1 6 15 20 15 6 1 n=6

1642年帕斯卡布莱斯·帕斯卡，1623年6月19日生于克勒加菲朗，法国的数学家和物理学家。他在数学方面受数学家的父亲影响，16岁就发表了数学论文，22岁研制出了世界上台机械计算机，根据欧几里得的几何学创立了自己独特的几何体系。在物理方面则总结出了压强定律即帕斯卡定律。设计并制作了一台能自动进位的加减法计算装置，被称为是世界上台数字计算器，为以后的计算机设计提供了基本原理。

1654年帕斯卡开始研究几个方面的数学问题，在无穷小分析上深入探讨了不可分原理，得出求不同曲线所围面积和重心的一般方法，并以积分学的原理解决了摆线问题，于1658年完成《论摆线》。他的论文手稿对莱布尼茨建立微积分学有很大启发。

杨辉三角形的规律是什么，懒得找了

（a+b）^5的第三项系数为10=1+2+3+4；

1、每行数字左右对称，由1开帕斯卡生于法国奥弗涅的克莱蒙费朗，帕斯卡从小就智力高人一等，12岁时就爱上数学，他父亲是一位受人尊敬的数学家，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得几何，他自己地发现出欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正确。12岁独自发现了 “三角形的内角和等于180度”后，开始师从父亲学习数学。16岁就参加巴黎数学家和物理学家小组（法国科学院的前身），17岁时写成数学水平很高的《圆锥截线论》一文，这是他研究德扎尔格关于综合射影几何的经典工作的结果。始逐渐变大，然后变小，回到1。

3、第n行数字和为2^(n－1)。

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。

2、第n行的数字个数为n个。

3、第+2ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)n行数字和为2^(n－1)。

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。

5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。

怎样用杨辉三角形求(A+B)的20次方第三项的系数

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。

找规律发现（a+b）^3的第三项系数为3=1+2；

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

以及杨辉三角性质

观察得出：1+2+3+4+5+。。。+18+19=190

或按

次数按照a的降幂排列,b的次数和a的次数和一定是n

综上，(A+B)的20次方第三项的系数是：190

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 。

（参考资料：

参考资料：

根据杨辉三角形公式（a+b)的五次方是多少

(a+b)^5

=(a+b)^2(a+b)^3

=(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)

=a^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)

+b^2(a^3+3a^2b+3ab1656年，帕斯卡被说服为阿尔诺辩护，因为阿尔诺遭受巴黎索邦大学神学院关于神学理论方面的禁令。帕斯卡以匿名的形式发出了一系列《致一位的信》。其中前十封可谓法国讽刺作品，其目标是会神学。在这种神学辩论尚未结束时，帕斯卡已决定向广大民众发表演说，即用《为辩护》一书发表其见解。直至时为止，他一直将聪明才智投入此项辩论工作中。由于其健康情况非常，以致大部分工作都零碎不堪。这些首次出版的辩论文章，在1670年收集于名为《思想录》的书中，帕斯卡亦以此著作闻名。^2+b^3)

=(a^5+3a^4b+3a^3b^2+a^2b^3)

+(2a^4b+6a^3b^2+6a^2b^3+2ab^4)

+(a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5)

=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

所以杨辉三角第6行1,5,10,10,5,1

什么是杨辉三角

故事中的数学家叫做杨辉，是南宋时期的数学家。他是个高产的学者，著有数学书共五种二十一卷。在《详解九章算术》中，杨辉详细解释了我们故事的主角——杨辉三角。三百多年后，法国神童帕斯卡发现了同样的三角，所以这个美丽的三角，也叫帕斯卡三角。

3、第n行数字和为2^(n－1)。

（4)中第n行之前的数字之和。

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。

6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，二项式定理的推广：第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。

其实，古代数学家在数学的许多重要领域中处于的地位。古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而贾宪三角的发现就是十分精彩的一页。

历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

13世纪宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

杨辉三角的规律是什么？

n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且，为：T(n+1)/2＋1

杨辉三角的规律是每行数字的列和一列的数字都是1，从第三行开始，除去列和一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它1+2+3+4+5+。。。+18+19=190是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为：

（1)中第n行之前的数字之和。

（2)中第n行之前的数字之和。

（3)中第n行之前的数字之和。

：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角是古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

以上内容参考：1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形.5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。

二项式定理内容怎么得出？

帕斯卡一方面以理性批判一切，同时又指出理性本身的内在矛盾和界限。他主张从两极观念的对立入手，考察人性，以及世界、人生、、历史、哲学、信仰等问题。

此定理指出：

5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。

其中，二项式系数指...

在他撰写的哲学名著《思想录》 里，帕斯卡留给世人一句名言：“人只不过是一根芦苇，是自然界脆弱的东西，但他是一根有思想的芦苇。” 科学界铭记着帕斯卡的功绩，单位制规定“压强”单位为“帕斯卡”，是因为他率先提出了描述液体压强性质的“帕斯卡定律”。计算机领域更不会忘记帕斯卡的贡献，1971年面世的PASCAL语言，也是为了纪念这位先驱，使帕斯卡的英名长留在电脑时代里。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项公式为：...

其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。

二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为：

1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 5 10 10 5 1 n=5

（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）

在我国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。

二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等数列求和，以及分法中有广泛的应用。

1．熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律

二项式定理:叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别.

2．掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.

①对称性：

②增减性和值：先增后减

n为偶数时，中间一项的二项式系数，为：Tn/2＋1

3．二项式从左到右使用为展开；从右到左使用为化简，从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.

证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^kb^(n-k)的形式。对于每一个a^kb^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。

二项式系数之和:

2的n次方

而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方

二项式定理推广到指数为非自然数的情况：

形式为 推广公式

注意：|x|<1

(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n