一元二次函数的标准形式为：$$f(x)=ax^2+bx+c$$，其中 a ≠ 0。该函数的顶点是最小值或最大值。

一元二次函数顶点坐标公式

顶点坐标公式：顶点坐标为 $$(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a}))$$

推导：

找到一元二次函数的顶点坐标，可以通过求导并令导数为零来完成。

一元二次函数的导数为：$$f'(x)=2ax+b$$

令导数为零：$$2ax+b=0$$ $$x=frac{-b}{2a}$$

将求得的 x 值代回原函数，求出对应的 y 值：$$f(frac{-b}{2a})=a(frac{-b}{2a})^2+b(frac{-b}{2a})+c$$ $$=afrac{b^2}{4a^2}-bfrac{b}{2a}+c$$ $$=frac{b^2}{4a}-2frac{b^2}{2a}+c$$ $$=frac{b^2}{4a}-frac{2b^2}{2a}+c$$ $$=frac{b^2-2b^2}{4a}+c$$ $$=-frac{b^2}{4a}+c$$

因此，顶点坐标为 $$(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a}))$$

应用：

顶点坐标公式可用于：

确定函数的最小值或最大值 绘制函数图像 找出函数对称轴 求解与 x 轴或 y 轴的交点

例子：

求函数 $$f(x)=x^2-4x+3$$ 的顶点坐标。

解：

比较该函数与标准形式，得到 a = 1、b = -4、c = 3。

将这些值代入顶点坐标公式：$$(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a}))=(frac{-(-4)}{2(1)}, f(frac{-(-4)}{2(1)}))$$ $$=(frac{4}{2}, f(frac{4}{2}))$$ $$=(2, f(2))$$

求出 f(2) 的值：$$f(2)=2^2-4(2)+3=-1$$