奇函数是一个对于自变量 x 有满足 f(-x) = -f(x) 特性的函数。在数学中，了解奇函数的性质对于解决数学问题至关重要。

奇函数的性质：奇函数乘以奇函数的结果

定理：奇函数乘以奇函数得到偶函数。

证明：

设 f(x) 和 g(x) 是两个奇函数。则有：

``` f(-x) = -f(x) g(-x) = -g(x) ```

因此，对于任意实数 x，我们有：

``` [f(x)g(x)](-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) ```

这表明 f(x)g(x) 是一个偶函数，因为 f(x)g(x) 的值与其自变量 x 的相反数相等。

反之命题：偶函数乘以奇函数得到奇函数。

证明：

设 f(x) 是一个奇函数，g(x) 是一个偶函数。则有：

``` f(-x) = -f(x) g(-x) = g(x) ```

因此，对于任意实数 x，我们有：

``` [f(x)g(x)](-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))g(x) = -f(x)g(x) ```

这表明 f(x)g(x) 是一个奇函数，因为 f(x)g(x) 的值与其自变量 x 的相反数不相等。

应用：

奇函数和偶函数的性质在许多数学领域都有应用，例如：

微积分：求不定积分和定积分 物理学：分析波和振动 工程学：设计滤波器和电路