极限计算是微积分的基础，而等价无穷小代换是求解极限时常用的技巧。等价无穷小代换指的是当自变量趋于无穷大或无穷小的时候，使用与原函数等价的无穷小量代替原函数。

等价无穷小代换：极限计算的利器

等价无穷小量

对于无穷大，等价无穷小量有：

对于幂函数：x -> ∞时，x^n -> ∞ (n > 0) 对于指数函数：x -> ∞时，e^x -> ∞ 对于对数函数：x -> ∞时，log(x) -> ∞

对于无穷小，等价无穷小量有：

对于幂函数：x -> 0时，x^n -> 0 (n > 0) 对于指数函数：x -> 0时，e^x -> 1 对于对数函数：x -> 1时，log(x) -> 0

等价无穷小代换的应用

等价无穷小代换的目的是将原函数简化为易于求极限的表达式。以下是一些常见的代换：

对于幂函数：当指数趋于无穷大或无穷小时，可代换为指数为 1 或 0 的等价无穷小量。 对于指数函数：当指数趋于无穷大或无穷小时，可代换为 0 或 1 的等价无穷小量。 对于对数函数：当自变量趋于无穷大或无穷小时，可代换为 0 或 1 的等价无穷小量。

示例

求极限：lim (x->∞) (x^3 + 2x) / (x^2 + 1)

解：

当 x 趋于无穷大时，可使用等价无穷小代换 x^3 ~ x^2。

lim (x->∞) (x^3 + 2x) / (x^2 + 1) = lim (x->∞) (x^2 + 2x) / (x^2 + 1) = lim (x->∞) (1 + 2/x) / (1 + 1/x^2) = 1 + 0 / 1 = 1

结论