高中数学经典解题技巧

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

高中数学经典解题技巧

高考真题怎么求函数值 高考函数题型解题技巧

高考真题怎么求函数值 高考函数题型解题技巧

高考真题怎么求函数值 高考函数题型解题技巧

考情聚焦：1．利用两角和的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

“三角变换与解三角形”的技巧性应用

湖南津市一中 周毅

首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1． 会用向量的数量积推导出两角的余弦公式。

2． 能利用两角的余弦公式导出两角的正弦、正切公式。

3． 能利用两角的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

4． 能运用和与、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和、和化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

一、三角变换及求值

2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

解题技巧： 1．在涉及两角和与的三角函数公式的应用时，常用到如下变形

（1）；

（2）角的变换；

（3）。

2．利用两角和与的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；

（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；

（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值； (Ⅱ)求函数R)的值域

解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.当时，f(x)有值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3

所以所求函数f(x)的值域是

二、正、余弦定理的应用

考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

两个未知数的函数最值怎么求??

一般通性通法1、分别求出函数f(x)的导函数f

'(x)

2ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1xk/k+... (|x|<1)、令f

'(x)=0推出函数增减区间，可看出函数极值（如果是高考算到这里6分题，可得4分）

3·倍角公式：、分类讨论推出函数最值

关于一道高考数学函数值域的问题（求祥解）

1.乘开!

2.求导!

3.令导数为零!

4.求出导数为零的X值

5,将X代入原式

6.可以得到两个含有AB的式子

7.解二元一次方3.切④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。线问题程组!解得A,B

高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳

函数解析式与函数式相类似，都是求出函数x与y的函数关系，也是高考数学常考考点，下面是我给大家带来的高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳，希望对你有帮助。

高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点(一)

函数解析式的常用求解方法：

(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得

，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点(二)

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广生参考。

一、定义法

根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知

。解：因为

已f (x)=知

看成一个整体t，进行换元，从而求出

的方法。

例2. 同例1。

解：令

。评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即

的定义域。

三、方程组法

根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

例3. 已知定义在R上的函数

满足

的解析式的大小决定函数的（小）值.。解：

， ①

②得

。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法

通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例4. 已知函数

的定义域为R，并对一切实数x，y都有

的解析式。解：令

，令

五、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例5. 已知二次函数

的二次项系数为a，且不等式

的解集为(1，3)，方程

有两个相等的实根，求

的解析式。解：因为

解集为(1，3)，设

① 由方程

得②

因为方程②有两个相等的实根，

所以

，即

解得

又，将

①得

点击下一页分享更多 高考数学函数解析式的求解及其常用方法知识点归纳

高一函数 值域怎么求 要详细点的 不然不懂

5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

求函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a

0)的定义域为R，值域为R；

反比例函，求数

的定义域为{x|x

0}，值域为{y|y

0}；

二次函数

的定义域为R，

当a>0时，值域为{

}；当a<0时，值域为{

}.

例1．求下列函数的值域

①y=3x+2(-1

x1)

④解：①∵-1

x1，∴-3

3x

3，

∴-1

3x+2

5，即-1

y5，∴值域是[-1，5]

②∵

∴即函数

的值域是

{y|

y2}

③④当x>0，∴

=，

当x<0时，

=－

∴值域是

[2，+

).（此法也称为配方法）

函数

的图像为：

2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2

求下列函数的值、最小值与值域：

①；

解：∵

，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3

,无值；函数的值域是{y|y

-3

}.

②∵顶点横坐标2

[3,4]，

当x=3时，y=

-2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，

=-2，

=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2

[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，

=-2，

=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2

[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,

x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，

=-3，

=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数

,⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当

时，其最小值

；②当a<0时，则当

时，其值

.⑵若定义域为x

[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若

[a,b],则

是函数的最小值（a>0）时或值（a<0）时，再比较

②若

[a,b],则[a,b]是在

的单调区间内，只需比较

的大小即可决定函数的（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数

的值域

方法一：去分母得

(y-1)

+(y+5)x-6y-6=0

①当

y11时

∵x?R

∴△=(y+5)

+4(y-1)×6(y+1)

由此得

(5y+1)

检验

时（代入①求根）

∵2

?定义域

{x|

x12且

x13}

∴再检验

y=1

代入①求得

x=2

∴y11

综上所述，函数

的值域为

{y|

y11且

y1

}方法二：把已知函数化为函数

(x12)

∵x=2时

即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

4．换元法

例4．求函数

的值域

解：设

则t

x=1-

代入得

5．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：

，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y

3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+

].

如图

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

求函数最值问题的思路是什么?

tan（π＋α）＝tanα

把导数等于零的点题目给的定义域的端点都带入方程，其中的值就是值最小值就是最小值，如果定义域是开区间就不用算端点了

先用求导等方法求出所有的驻点,再代入原函数看看哪个结果就是值.如果有定义的区间还得比较cos（2π－α）＝cosα区间两端点的函数值大小哟.

如何求高一函数中的值和最小值

②高一函数值最小值怎么求?要过程 举个例子 给你个式子 如：y=(x-a)2;+c 因为(x-a)2;≥0 当x=a时 上式最小值为，ymin=c 将上式改造 如y=-(x-a)2;+c 当x=a时，上式值为：ymax=c 看出方法了吗。 求函数值域及最值的常用方法有：配方法、换元法、反函数法、中不等式法、单调性法、判别式法、数形结合法、分离常数法、参数法、导数法等等。 函数y=x+√(x2;-3x+2)的值域为____ 解：由y=x+√(x2;-3x+2),得 √(x2;-3x+2)=y-x≥0. 两边平方,得(2y-3)x=y2;-2, 从而,y≠3/2,且x=(y2;-2)/(2y-3). 由y-x=y-(y2;-2)/(2y-3)≥0,得 (y2;-3y+2)/(2y-3)≥0, 解得3/2>y≥1 或 y≥2. 当y≥2时,由x=(y2;-2)/(2y-3),易知x≥2,于是x2;-3x+2≥0. 当3/2>x≥1时,同样易知x≥2,于是x2;-3x+2≥0. 因此,所求函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞). 利用反函数的方法,用y来表示x.注意要验证原函数定义域. 这题也不错： 已知x,y都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数 u=4/(4-x^2)+9/(9-y^2)的最小值为？ 由条件知4-x2;>0,9-y2;>0,故 u≥2√[4/(4-x2;)9/(9-y2;)] =12/√[(36-9x2;-4y2;+(xy)2;] =12/√[37-(9x2;+4y2;)] ≥12/√[37-2√(36x2;y2;)] =12/5 当x=√(2/3),y=-√(3/2)时,u=12/5 故最小值为12/5. 换元法例题： x为任意实数，试求函数f(x)=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1的最小值 令u=x2;+4x,于是可化为简单的二次方程. g(u)=(u+5)(u+3)+2u+1 =u2;+9u+11 =(u+9/2)2;-37/4 因为u=x2;+4x=(x+2)^2-4,所以u≥-4. 当u=-9/2时,g(u)取最小值-37/4 且当u>-9/2时,g(u)是u的严格增函数. 因此当x=-2时,f(x)取最小值为-9. 单调性法+极限法： y=[(5x^3+2sinx)/(3x^4+7x^2+4cosx)]+1 的值域为[m,n],则m+n=? 首先先不要管“+1”， 设f(x)=(5x^3+2sinx)/(3x^4+7x2;+4cosx). f(-x)=-(5x^3+2sinx)/(3x^4+7x2;+4cosx)=-f(x). 显然f(x)是奇函数，关于原点对称。 再根据多项式分式求出当x无穷趋近于±∞时的极限，limit=0. (因为分子项小于分母项)。 设f(x)的值为t，显然最小值为-t，然后得出函数y的值是t+1，最小值是1-t。 所以m+n=1+t+1-t=2... 三角代换法： 求y=x+4+√(9-x2;)的值域. y=x+4+√(9-x2;) -3≤x≤3. 所以不妨设x=3sint t∈[-π/2,π/2]. 则原式化为y=3sint+4+√(9-9sin2;t)=3sint+3cost+4=3√2sin(t+π/4)+4. 因为-3≤x≤3所以y的最小值是-3+4=1，值是4+3√2. 参考文献： 自己答过③

高中数学函数中求最值需要注意的问题论文

【摘要】高中数学函数求最值问题是高中数学最重要的课程之一，由于求最值问题的内容较散，方法难以选择，因此最值问题求解一直困扰我们的学习。最值问题是数学考试中常用的求解题目，我们在学习中要通过例题的练习熟悉最值求解问题的解题方法，并且通过例题来确认可能存在的解题陷阱，从而让同学们提高对这一部分题目的解题熟练度和准确度。

1.函数最值求解的理论知识

高中数学函数中求最值是整个阶段学习的核心内容，最值求解问题的覆盖度较广，在高考题目中屡次出现，这也体现了这一知识点的重要性。函数最值问题的定义是：设y=f（x）的定义域为A，如果存在x0∈A，使得A范围内的任意x值都有f（x0）≤f（x），则成为函数的值，反之则成为函数的最小值，这是最值问题的严格定义，将函数最值问题和函数单调性结合在一起，我们在学习过程中，要注重函数单调性的理解，求解函数最值。

函数最值问题的`求解较为复杂，这也是导致我们学习出现障碍的症结所在，函数最值问题求解需要考虑的方面较多，如果忽略了函数定义域的处理，就会导致函数最值求解错误。我们在最值问题求解时会涉及到函数定义域和值域、三角函数、单调性等问题，涉及的数学方法和解题技巧也较多，因此对于这类问题的求解要注重解题细节，灵活运用最值求解方法。

2.函数中求最值需要注意的点

2.1区间上二次函数最值求解

二次函数最值求解是较为常见的函数问题，由于二次函数是非线性函数，讨论函数区间内的最值问题要综合考虑函数的特性，确定函数定义域区间内的最值，最值求解一定要在有意义的定义域区间内，我们要明确函数区间的开闭性，而此函数是给定的，其相应的函数值域也是确定的。例如已知二次函数f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函数曲线是以直线x=-b/2a为对称轴，曲线为开口向上的抛物线，根据数形结合我们可以求解函数区间。我们在求解过程中，要注意函数区间（m、n）的界定，在函数区间内区分增区间和减区间，从而求解函数的值和最小值。

2.2动二次函数的区间最值求解

二次函数随着参数的变化而变化，其函数曲线是运动的，但是其区间固定在一个区域内，这种情况下的函数定区间最值求解要考虑函数区间的单调性。函数参数如果实在曲线开口上，就要针对函数曲线开口向上和开口向下进行重点讨论，如果函数参数出现在对称轴上，就针对函数区间左侧、右侧和中间定义域进行讨论，如果函数区间在对称轴区【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下跟常用逻辑用语的经典解题技巧。间的中间，要分为两种情况进行讨论，细分为对称轴是分为左侧或者右侧的端点。动二次函数包含了参数，去区间也是变化的，函数在闭区间的最值可能是出现在区间端点，顶点处取得，要对得出的参数值进行验证。同时函数最值求解要把握二次函数的图像开口方向，确定定点的横坐标，并确定函数的单调性和对称性。

2.3利用基本不等式求解最值问题

有些同学在利用基本不等式求解最值问题时，会忽视了等号成立条件的问题，在利用基本不等式求解最值时要必须对定理的前提的进行考虑，核实“一正二定三相等”的前提条件是否成立，否则求得的最值容易出现错误。例如对于例题：正数x、y满足x+2y=1，求解1/x+1/y的最小值，对于不等式最值求解可能会出现以下的错解，即由基本不等式可以得出x+2y=1≥。

所以可以得出xy≤1/8，我们可以将不等式变化带入到不等式1/x+1/y≥2≥4，其最小值为4。对于这种错误解题方法分析，次等号成立的条件为x=2y，但是第二次等号成立的条件是x=y，这两种之间的矛盾直接导致最值求解直接错误，因此我们在不等式求解最值时要格外注重等号成立条件的规定。

2.4数形结合求解函数最值

数形结合求解函数最值问题是我们往往忽略的方法，这种方法借助图形可以直接观察到函数的单调性，从而确定函数最值在哪个位置。图形可以直观表现函数曲线的，所以走向，而数则可以计算函数区间，通过数和形的联系可以结合函数最值问题。我们可以根据函数画出相应的图形，将函数图形纳入到坐标系中，画出函数曲线中的对称线和区间端点，利用函数图形辅助最值求解，函数图形可以直观准确计算出两个变量表达式的数值，用导数求极值进而求最值，也要借助草图来画出函数的单调性才能确定最小值在哪取得；在区间上求二次函数的最值问题也要画出二次函数的图象才能确定最值，因此我们要合理利用数形结合来求解函数最值，灵活运用函数图像的辅助作用，提高函数区间单调性的把握，从而计算函数最值。

3.结语

综上所述，高中数学函数中求最值是最常见的数学问题，对于这一问题的学习，我们要掌握多种求解方法，根据函数特征灵活运用，同时要注意函数定义域和值域的范围，采用数形结合、分类讨论、区间划分及函数单调性等方法来计算函数最值，提高最值问题的解题准确性，避免由于疏忽而导致解题错误。高中生在函数最值求解学习中，要对最值求解问题进行系统练习，在习题练习中总结求解方法，攻克最值求解的学习难关。

高考如何考导数大题

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

高考数学导数大题出题特点及解法技巧：

1.若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分二、换元法导数与△y/△x之间的区别。

2.若题目考察的是曲线的切线，分为两种情况：

(1)关于曲线在某一点的切线，求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

(2)关于两曲线的公切线，若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

高考导数有什么题型

①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性;

②应用导数求函数的极值与最值;③应用导数解决有关不等式问题。

导数的解题技巧和思路

①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的，请牢记);

②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间;

③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)>0时，该区间为增区间,反之则为减区间。高考数学导数主流题型及其方法(1)求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线

一般来说，一到比较温和的导数题的会在问设置这样的问题：若f(x)在x=k时取得极值，试求所给函数中参数的值;或者是f(x)在(a,f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。

虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：

高考数学导数解题技巧

sin（－α）＝－sinα

高考数学导数解题技巧

先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述种情形为例：令x=k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。

1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。

2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。

3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。

4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。

5.涌现了一些函数新题型。

6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。

7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。

8.求极值， 函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。

高考数学导数中档题是拿分点

1.单调性问题

研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。

2.极值问题

求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在 _ 0 时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时， 在 x=x0处也可能有极值，例如函数 f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。

还要注意的是， 函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的定义域内。

曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展 理性思维 。关于切线方程问题有下列几点要注意：

(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程;

(2) 和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线;

(3) 两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等;另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。