在数学中，双曲线是一种开放曲线，由两个分支组成，向相反的方向延伸。当双曲线的两个焦点距离为 2c，半焦距为 a 时，焦点三角形的面积公式为：

双曲线的焦点三角形面积公式

``` A = 2ab ```

推导

为了推导公式，我们需要考虑双曲线的一个分支。假设焦点为 F1 和 F2，半焦距为 a，距离为 2c。

考虑双曲线上的一个点 P，到 F1 和 F2 的距离分别为 r1 和 r2。根据双曲线的定义，我们有：

``` r1 - r2 = 2a ```

现在，考虑以 F1 和 F2 为边的焦点三角形。三角形的面积可以表示为：

``` A = (1/2) |F1F2| |PQ| ```

其中 PQ 是三角形的底边。

|F1F2| 为两个焦点之间的距离，即 2c。|PQ| 是底边的长度，可以通过勾股定理计算：

``` |PQ|^2 = r1^2 - a^2 = (r2 + 2a)^2 - a^2 = r2^2 + 4ar2 + 3a^2 ```

因此，|PQ| = √(r2^2 + 4ar2 + 3a^2)。

将 |F1F2| 和 |PQ| 代入三角形面积公式，我们得到：

``` A = (1/2) 2c √(r2^2 + 4ar2 + 3a^2) ```

为了简化公式，我们可以使用双曲线的定义：

``` r2^2 = c^2 + a^2 ```

将此代入面积公式，我们得到：

``` A = (1/2) 2c √(c^2 + a^2 + 4ac + 3a^2) ```

进一步简化后，我们得到双曲线的焦点三角形面积公式：