上海高考数学几何的投影问题经常涉及空间几何体的投影关系，要求考生理解投影的原理和性质，并灵活运用投影定理和推论解决问题。

上海高考数学几何：投影问题

上海高考数学几何：投影问题

上海高考数学几何：投影问题

投影的定义和性质

投影是指空间中的一个点在另一个平面或直线上的正射投影。投影的性质包括：

投影的长度：投影的长度等于被投影点到投影面的距离。 投影的平行性：被投影点和投影点在投影面上的投影平行于连接这两点的线段。 投影长度的比例：投影与被投影长度的比例等于投影面的法线向量与被投影线段的夹角的余弦值。

投影定理和推论

为了解决投影问题，考生需要熟知以下定理和推论：

投影定理：任意两条不在同一平面内的直线，其投影的长度之和等于这两条直线的长度之和。 反投影定理：如果两条直线投影到同一个面上，且投影长度之和等于这两条直线的长度之和，那么这两条直线一定不相交。 投影长度的比例推论：两条线段的投影长度比等于两组线段长度比的乘积。 投影面积的比例推论：两个平行于投影面的多边形的投影面积比等于两组多边形面积比的乘积。

解题思路

解决上海高考数学几何投影问题时，考生可以遵循以下思路：

1. 确定投影面：根据题意确定投影面，一般是平面或直线。 2. 作辅助线：根据投影的性质，作辅助线将问题分解为更小的几何问题。 3. 应用投影定理或推论：根据投影定理或推论求解投影长度、比例或面积。 4. 综合结论：根据求解结果回答题目中提出的问题。

例题

一个正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a。求证：线段AA'、BB'、CC'、DD'的投影面积之和等于A'B'C'D'的面积。

解题：

设正方体ABCD-A'B'C'D'被投影到平面ABCD上。根据投影面积的比例推论，AA'、BB'、CC'、DD'的投影面积比为1:1:1:1。

投影面积之和为 4 AA'的投影面积 = 4 (a^2/4) = a^2。

A'B'C'D'的面积为 a^2。