简介

无穷级数求和：1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n

在数学中，级数是一种无限和，由数字和之间的运算组成。无穷级数是无限个项的和。其中一种常见的无穷级数是调和级数：

``` S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n ```

收敛性

该级数是一个发散级数，这意味着它的和随着 n 的增加而趋于无穷大。换句话说，不存在有限值 S，使得 S 等于调和级数的和。

渐近性

尽管调和级数是发散的，但它的部分和可以用来近似一个渐近值。对于足够大的 n，调和级数的部分和 H(n) 满足：

``` H(n) ≈ ln(n) + γ ```

其中 γ 是欧拉-马歇罗尼常数，约为 0.5772。

应用

尽管调和级数本身是发散的，但它在数学和物理学中仍有许多应用，例如：

质数分布：调和级数可以用来估计质数的数量。 信息论：调和级数在信息论中用于计算香农熵。 随机游走：调和级数在随机游走模型中用来计算平均时间。

收敛性检验

有几种检验发散级数收敛性的方法。对于调和级数，我们可以使用积分检验：

``` ∫[1, ∞] 1/x dx = ln(x) |[1, ∞] = ∞ ```

既然积分发散，调和级数也发散。

结论