牛顿二项式定理，也称为二项式展开公式，是一个数学公式，用于展开（a+b）^n形式的二项式。它得名于艾萨克·牛顿，他于 17 世纪首次提出了这个定理。

牛顿二项式定理：二项式展开的利器

公式

牛顿二项式定理的公式如下：

``` (a + b)^n = ∑(k=0 to n) (n choose k) a^(n-k) b^k ```

其中：

n 是正整数，表示二项式的指数。 (n choose k) 是二项式系数，由以下公式计算：

>``` (n choose k) = n! / (k! (n-k)!) ```

a 和 b 是二项式的两个项。

展开

使用牛顿二项式定理展开二项式 (a+b)^n 的过程如下：

对于每个 k 从 0 到 n，计算二项式系数 (n choose k)。 将 a^(n-k) b^k 的项与相应的二项式系数相乘。 将所有乘积相加，就得到二项式的展开式。

应用

牛顿二项式定理在数学和科学等多个领域都有着广泛的应用。它可用于：

展开多项式 计算二项式序列中的项 评估多项式的极限 求解代数方程 逼近函数

示例

让我们以 (x+2)^5 为例。使用牛顿二项式定理，我们可以展开如下：

``` (x + 2)^5 = ∑(k=0 to 5) (5 choose k) x^(5-k) 2^k ```

k = 0： (5 choose 0) x^5 2^0 = 32 k = 1： (5 choose 1) x^4 2^1 = 80x k = 2： (5 choose 2) x^3 2^2 = 80x^2 k = 3： (5 choose 3) x^2 2^3 = 40x^3 k = 4： (5 choose 4) x^1 2^4 = 10x^4 k = 5： (5 choose 5) x^0 2^5 = 32

因此，(x+2)^5 的展开式为：

``` 32 + 80x + 80x^2 + 40x^3 + 10x^4 + 32 ```

结论