柯西不等式是在数学分析中经常使用的一个不等式，它描述了两个向量内积与它们的模的之间的关系。它表明，对于两个实向量 x 和 y，有：

柯西不等式：数学分析中的基础

``` |x·y| ≤ ||x|| ||y|| ```

其中，||x|| 和 ||y|| 分别是 x 和 y 的模（长度），x·y 是他们的内积。

证明

柯西不等式的证明可以从施瓦茨不等式[1] 推导出来，施瓦茨不等式指出：

``` |(a,b)|^2 ≤ (a,a)(b,b) ```

对于任何两个实数 a 和 b。通过将 a 和 b 替换为向量 x 和 y 的分量，可以得到：

``` (x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ)² ≤ (x₁² + x₂² + ... + xₙ²)(y₁² + y₂² + ... + yₙ²) ```

取平方根并重新排列，得到：

``` |x·y| ≤ √[(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)(y₁² + y₂² + ... + yₙ²)] ```

进一步化简，得到：

``` |x·y| ≤ ||x|| ||y|| ```

证毕。

应用

柯西不等式在数学分析的各个领域都有广泛的应用，包括：

求角的余弦值：`cos(θ) = x·y / (||x|| ||y||)` 矢量投影：`projx(y) = ((x·y) / ||x||²) x` 线性代数中 Gram-Schmidt 正交化 傅里叶分析中的帕塞瓦尔定理

柯西不等式是一个非常有用的工具，因为它提供了一种使用向量模量来界定它们的内积的方法。它在优化、概率论和量子力学等领域都有着广泛的应用。