在数学中，等比数列是一个每个数与前一个数的比值都相同的数列。等比数列的前 n 项和是指数列中前 n 个数的总和。求取等比数列前 n 项和对于许多数学问题和实际应用至关重要。

等比数列前 n 项和

公式

求取等比数列前 n 项和的公式为：

``` S_n = a(1 - r^n) / (1 - r) ```

其中：

S_n 是前 n 项和 a 是等比数列的首项 r 是等比数列的公比

推导

求取等比数列前 n 项和的推导过程如下：

1. 将前 n 项写成：a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 2. 将等比数列项乘以公比得到：ar, ar^2, ar^3, ..., ar^n 3. 将这两个数列相加得到：a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n 4. 观察到第二行中的数列是第一行中的数列向后移一位，因此第二行可以表示为：ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n + ar^(n+1) 5. 将第三行和第四行相减得到：a - ar^(n+1) 6. 最后，将 a 因子化并简化得到公式：S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)

应用

求取等比数列前 n 项和的公式在数学和现实中都有广泛的应用，例如：

计算贷款利息 求解复利问题 分析指数增长和衰减 概率和统计学模型

理解

理解求取等比数列前 n 项和的关键在于掌握公比的概念。公比是等比数列中相邻两项的比值，它决定了数列中各数之间的增减关系。如果公比大于 1，那么数列递增；如果公比小于 1，那么数列递减。

总结