在三维几何中，确定一个点到平面的距离至关重要。点到面的距离公式提供了一种通过点和面的直角坐标计算该距离的简洁方法。

点到面的距离公式：解析空间中的几何关系

公式推导

设点 P 的坐标为 (x₁, y₁, z₁) ，平面 Π 的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C、D 是常数。点 P 到平面 Π 的距离 d 可以表示为：

``` d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A² + B² + C²) ```

其中，分母表示平面 Π 的法向量的模长。

公式应用

点到面的距离公式在各种几何问题中都有广泛应用，例如：

计算点到平面的最短距离：将公式代入不同的点坐标，找到最小的 d 值，即可得到点到平面的最短距离。 判断点与面的位置关系：当 d > 0 时，点位于平面一侧；当 d = 0 时，点位于平面上；当 d < 0 时，点位于平面另一侧。 投影点坐标：由公式可知，点到面的距离矢量与平面法向量同向，因此点到平面的投影点的坐标可以表示为：

``` (x₁, y₁, z₁) + t (A, B, C) ```

其中 t = d / √(A² + B² + C²)。

例子

假设一个点 P 的坐标为 (1, 2, 3)，平面 Π 的方程为 x + 2y + z - 5 = 0。根据点到面的距离公式，我们可以计算出：

``` d = |1 1 + 2 2 + 1 3 - 5| / √(1² + 2² + 1²) = 1 / √6 ```

因此，点 P 到平面 Π 的距离约为 0.408。

结论