ab与ba是相同的组合还是相同的数列

他们是∵AD=AC=,∠DAE=60°,相同的组合。

高考数学ab还是ba 高考数学是ab卷吗

高考数学ab还是ba 高考数学是ab卷吗

高考数学ab还是ba 高考数学是ab卷吗

因为数列是按顺序来的，你改变了它们的顺序，相应的映射就不一样了。

而组合的话就没有顺序的要求了。

相同的8.如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.组合。排列有顺序，组合没顺序！

高中数学书为什么有AB两版

tan(A/2)=((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-((1-cosA)/((1+cosA))

拿立体几何举个例子，A不要求学生会向量法，B要求，在高考时，只是方法不一样

A版比较容易理解，B版相对较难，但对于高考是一样的，只是方法问题而已

一本文科用,一本行列式运算法则理科用

应该没什么不同，可能是内容和题不一样的吧，学的都不多

数轴上ab和ba

∴PM∥CD,

C这是必修2 2.1的一道题,向量的坐标的是向量的长度,所以（2）错了,坐标互为相反数,长度相等.向量AB与向量BA的坐标互为相反数,长度相等.如果数轴上两个向量的坐标相等,那么这两个向量相等教材原话.数轴上向量的坐标一定是实数.数轴上点和实数一一对应.

(2)传递性：ab，ba

高三年级必修二数学知识点整理

tan(π/2+α)=-cotα

【 #高三# 导语】高中数学一直都是比较难的一项课程，为了更好的学习数学，应该掌握更多的数学知识。下面是 大家整理的《高三年级必修二数学知识点整理》，希望对大家有所帮助！

1.高三年级必修二数学知识点整理 篇一

1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、交换行列式中的两行(列)，行列式变号。

3、行列式中某行(列)的公因子，可以提出放到行列式之外。

4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。

5、若行列式中，两行(列)完全一样，则行列式为0;可以推论，如果两行(列)成比例，行列式为0。

7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。

8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。

9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。当D=0时，有非零解;当D!=0时，方程组无非零解。

2.高三年级必修二数学知识点整理 篇二

等腰直角三角形面积公式：S=a2/2，S=ch/2=c2/4(其中a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高)。

若设等腰直角三角形两腰分别为a,b，底为c，则可得其面积：S=ab/2。

且由等腰直角三角形性质可知：底边c上的高h=c/2，则三角面积可表示为：S=ch/2=c2/4。

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。

3.高三年级必修二数学知识点整理 篇三

复合函数定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的，即求各部分定义域的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

4.高三年级必修二数学知识点整(2)∠DFB+∠DBC=90°.理 篇四

1、不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式

2、比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba

3、不等式的性质

(1)对称性：ab

(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c

(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;

(5)可乘方：a0bn(nN，n

(6)可开方：a0

(nN，n2)

注意：

一个技巧

作法变形的技巧：作法中变形是关键，常进行因式分解或配方

一种方法

待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，利用不等式的性质求出目标式的范围

5.高三年级必修二数学知识点整理 篇五

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影)；侧视图(从左向右)、

俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

6.高三年级必修二数学知识点整理 篇六

三角函数的诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

我有一个题目上面问向量ba和向量ab对应的复数 是什么意思啊 不是一条线吗

扩展资料

向量ab和向量ba的方向不同。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。[1]如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的(∠ABC+∠BAC)= (180°-∠C)=90°-∠C,结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

高考必备实用的数学详细公式归纳

∴PD=8,CD=3.

高考越来越近，同学们的高考数学公式都记下了吗?下面是我分享的高考必备的数学公式，一起来看看吧。

空间几何体的三视图

高考必备的数学公式 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b||a|+|b| |a-b||a|+|b| |a|b=-ba

|a-b||a|-|b| -|a|a|a|

一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理

判别式

2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

2-4ac0 注：方程有两个不等的实根

2-4ac0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

in(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

in(A/2)=((1-cosA)/2) sin(A/2)=-((1-cosA)/2)

cos(A/2)=((1+cosA)/2) cos(A/2)=-((1+cosA)/2)

ctg(A/2)=((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-((1+cosA)/((1-cosA))

和化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

inA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 12+23+34+45+56+67++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=ch 斜棱柱侧面积 S=ch

正棱锥侧面积 S=1/2ch 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h

圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pir2

圆柱侧面积 S=ch=2pih 圆锥侧面积 S=1/2cl=pirl

弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2lr

锥体体积公式 V=1/3SH 圆锥体体积公式 V=1/ir2h

斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=sh 圆柱体 V=pir2h

通项公式的求法：

(1)构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式;

(2)构造等数列：递推式不能构造等比数列时，构造等数列;

(3)递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

已知递推公式求通项常见方法：

①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数，使an+1 +=q(an+)进而得到。

②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)的方法。

③已知a1=a,an=f(n)an-1(n2)，求an时，利用累乘法求解。

高三数学的复习 一、时间的安排

根据放的天数，大家要把时间安排好。这个期不同于以往的期，应该以学习为主，放应该看成是在家中上课，建议大家就按照课表上的时间标准，按时上、下课，全天分成上午、下午和晚上三个时间段，数学还是安排在上午。但每门课时间不宜太长，最多不要超过1.5小时。春节期中三天可以放松一下，但不宜长距离的旅行，可在住所周围活动，主要是放松一下心情。

二、的安排

做什么事情都应该有一个，这也是大家应该学习的一部分，寒很短暂，如果没有，可能会在忙碌中很快过去，同样建议大家把高三的课表整合一下，对各科进行重新的排列，这里应该突出安排自己的薄弱科目。不要指望某一学科，希望用这门课的成绩来弥补“瘸腿”的科目，这是不可能的。数学科还是要每天至少安排一节课，自己对数学各个知识块儿——函数、导数、数列、不等式、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等等的掌握也应有充分的认识，针对自己的薄弱环节，加强复习和练习。对于感觉困难的知识块儿，不应该回避，而应该安排多一些的时间，力争在期中克服它。

三、总结的安排

如何找到自己的薄弱环节，这就要通过很好的总结，总结课上老师讲的例题、课后做的作业、统练中的考题，看看自己在哪个知识上老出错，这就应该是薄弱环节。对于薄弱环节，首先还是要解决基本知识的问题，然后可以和同学讨论一下，向老师(学校会安排答疑时间、网校也有老师值班)请教一下。同时，做完一个题目也应该有一个反思(总结)，即：这个题目考察了几个知识点，易错点是什么，与以往做的题目有哪些类似点，变换条件与结论题目还能做吗等等，不一定每道题都反思，但每天反思一道还是必要的，这个过程就是能力提高的过程。

高三提高数学成绩的建议 多做题

不管是什么科目，都需要做题来积累经验，更别说是以做题为主的数学了。

对于基础知识薄弱的同学来说，首要的就是先掌握基础知识，平时的学习就以课本为主，通过做书上的的习题和例题来巩固基础知识，等掌握了基础，再攻克重点难点。

对于基础知识掌握得好的同学来说，平时就多做一些经典例题，以及高考真题，积累做题经验，提高做题速度，分析一下历年高考试题的考察方向。

整理知识点

高中理综数学总共是5本必修，5本选修，所以复习起来比较麻烦，为了复习的时候便于查找，可以把高中数学内容分类归纳，有针对性的复习。

这样一来节省了翻阅书本的时间，还有利于针对自己的薄弱环节进行专项复习。

整理错题集

准备一个笔记本，把自己平时出错的内容都整理上去，每隔一段时间把错题集上的问题解决一下，在高考试前一周专门针对错题集进行复习。这样就能避免之前烦的错误考试时再出现。整理错题集能很大程度提高复习效率。

合理分配考试时间

2014高考数学押题:几何证明

2014高考数学押题:几何证明

1.几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=.

解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,

又∠A=∠C,

得∠PED=∠A,

∠P为△DPE与△EPA的公共角,

所以△PED∽△PAE, =,PE2=PD·PA.

由PD=2,DA=1,

得PA=3,PE=.

:

2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=.

解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,则=,AE===2.

:2

3.如图,☉O和☉O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:

(1)AC·BD=AD·AB;

证明:(1)由AC与☉O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,

同理∠ACB=∠DAB,

所以△ACB∽△DAB,从而=,

即AC·BD=AD·AB.

(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,

又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.

从而=,

即AE·BD=AD·AB,

结合(1)的结论,AC=AE.

直线和圆的位置关系

1.如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.

解析:因为AE是圆的切线,

AB∥DC,

所以BC=AD=AB=5,

又BE=4,

则EA2=EB×EC=4×9=36,

EA=6.

由∠CDB=∠CAB=∠ACB=∠BAE,

即∠CDB=∠BAE,∠3.如图所示,AB是☉O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:DCB=∠ABE,

得△DCB∽△ABE,则=,

则BD==.

:

2.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=.

解析:∵Rt△DEF∽Rt△DBE,

∴=,即DE2=DF·DB,

又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,

∴DF·DB=5.

:5

3.如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.

解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,

又∵AF=3,FB=1,EF=,

∴FC=2,

又∵FC∥BD,∴==,∴BD=,

又∵==,∴AD=4CD.

又由切割线定理知DB2=DC·DA,

∴=4CD2,∴CD=.

:

4.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD= cm.

解析:法一Rt△ABC中,AC=3,BC=4,

∴AB=5.

如图,连接CD,则CD⊥AB.

由射影定理得BC2=BD·AB,

即42=5·BD,

∴BD=(cm).

法二∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC为☉O的直径,

∴AB=5,BC为☉O的切线,AB为☉O的割线,

∴BC2=BD·AB,∴42=5·BD,

∴BD=(cm).

:

5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

(1)证明:连接DE,交BC于点G.

由弦切角定理得,

∠ABE=∠BCE.

而∠ABE=∠CBE,

故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又DB⊥BE,

所以DE为直径,

则∠DCE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

所以BG=.

设DE的中点为O,连接BO,

则∠BOG=60°.

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,

故Rt△BCF外接圆的半径等于.

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF2=AD·BC.

证明: (1)由直线CD与☉O相切,

得∠CEB=∠EAB.

由AB为☉O的直径,

得AE⊥EB,

从而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得

∠FEB+∠EBF=,

从而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,

∠FEB=∠CEB,BE是公共边,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,

所以BC=B6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行(列)的每个元素与其代数余子式乘积的和;但若是另一行(列)的元素与本行(列)的代数余子式乘积求和，则其和为0。F.

类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,

得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,

故EF2=AF·BF,

7. (选修41:几何证明选讲)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,

所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC2=DB·BA=2DB2,

所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

(1)证明:C,B, D,E四点共圆;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,

即=.

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,

因此∠ADE=∠ACB,

∴∠ACB+∠EDB=180°,

∴C、B、D、E四点共圆.

(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.

因为C、B、D、E四点共圆,

∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,

从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,

故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.

相似三角形的判定与性质

1.如图所示,AB是半径等于3的☉O的直径,CD是☉O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD=.

解析:连接AC,DO,OC,

可得△PAC∽△PDB,

∴=.

又OC=OD=3,∴△OCD为等边三角形.

∴∠COD=60°,∴∠CBD=∠COD=30°.

:30°

2．如图所示,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB的平分线CD交AE于点F,交AB于点D.

(1)求∠ADF的度数;

(2)若AB=AC,求AC∶BC.

解:(1)∵AC为圆O的切线,

∴∠B=∠EAC,

又∵CD是∠ACB的平分线,

∴∠ACD=∠DCB,

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.

又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE=90°,

∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.

(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,

∴△ACE∽△BCA,

∴=.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,

∴在Rt△ABE中, =tan B=tan 30°=,

∴==.

(1)EF⊥FB;

证明:(1)连接AD.

在△ADB和△EFB中,

∵BD·BE=BA·BF,

∴=.

又∠DBA=∠FBE,

∴△ADB∽△EFB,

又∵AB为☉O直径,

∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.

(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,

∴E、F、A、D四点共圆,

∴∠DFB=∠AEB.

又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,

∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.

直线和圆的位置关系

1.如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是()

(A)△BEC∽△DEA

(B)∠ACE=∠ACP

(C)DE2=OE·EP

(D)PC2=PA·AB

解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.

:D

2.如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则PB=.

解析:连接OC,因为PC=2,∠CAP=30°,

所以OC=2tan 30°=2,则AB=2OC=4,

由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),

解得PB=2.

:2

3.如图所示,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,

AE= AB,BD,CE相交于点F.

(1)求证:A,E,F,D四点共圆;

(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.

又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.

又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,

∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,

∴∠ADF+∠AEF=π,

∴A,E,F,D四点共圆.

(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.

∴△AGD为正三角形,

∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,

所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.

由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.

综合检测

1.如图所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,则圆O的半径OC的长为.

解析:取BD的中点M,连接OM,OB,

所以OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径OB====5,即OC=5.

:5

2.如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.

解析:如图所示,连接OE,OC.

∵直线l与圆O相切于点C,

∴OC⊥l.

又∵AD⊥l,

∴OC∥AD,

∴∠DAB=∠COB.

又圆O的直径AB=8,BC=4,

∴△COB为等边三角形,

∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,

∴△AEO也为等边三角形,

∴AE=OA=4.

:4

3.如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP;

(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.

证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四边形PMCD是平行四边形.

4.如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.

(1)求证A,I,H,E四点共圆;

(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

解:(1)由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.

(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=

(90°-∠C)=∠C,所以∠IEH=∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.

什么时候AB= BA？

cot(-α)=-cotα

当矩阵A，B，AB都是N阶对称矩阵时，A,B可交换，即AB=BA。

则OM⊥BD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,

证明： A,B,AB都是对称矩阵，即AT=A,BT=B,(AB)T=AB 于是有AB=(AB)T=(BT)(AT)=BA 当A,B可交换时，满足(A+B)^2=A^2+B^2+2AB 。

证明： A,B可交换，即AB=BA (A+B)^2 =A^2+AB+BA+B^2 =A^2+AB+AB+B^2=A^2+B^2+2AB。

对称矩阵的性质：

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

6.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

7.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

8.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

数学向量中ab的向量是不是与ba的向量相等

6.如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:

不相等，向量是看方向和长度的，两者相同才可以，ab 与 ba 方向不同，所以不相等，应该是ab = - ba

cot(3π/2-α)=tanα

不相等，向量是有方向的，这两个是反向的。

不等,AB→=-BA→