設 a 為 n 階矩阵，其行列式定義為：

行列式的本质与矩阵特征根

``` det(a) = ∑(σ∈S_n) sgn(σ) ∏(i=1 to n) a_i,σ(i) ```

其中： S_n 為 n 個元素的對稱群 sgn(σ) 為 σ 的符號 a_i,σ(i) 為 a 中第 i 行、σ(i) 列的元素

行列式是一個重要的代數不變量，其值與 a 的性質緊密相關。例如：

det(a) = 0 當且僅當 a 為奇異矩陣（不可逆） det(a) = 1 當且僅當 a 為正交矩陣 det(a) = -1 當且僅當 a 為旋轉矩陣

行列式也可以用來計算矩陣的特征值和特征向量。特征值是使以下方程成立的標量 λ：

``` (a - λI)x = 0 ```

其中 I 為 n 階單位矩陣，x 為非零向量。特征向量是與特征值相應的非零向量。

行列式的特征多項式是以下形式的 n 次多項式：

``` p(λ) = det(a - λI) ```

特征值的根是 p(λ) 的零點。因此，我們可以使用行列式來計算矩陣的特征值。

具體來說，行列式的根是 a 的特征值，行列式在一個特征值 λ 處的階數等於対応特征空間的維數。因此，我們可以使用行列式來確定矩陣特征值的重數和特征空間的維數。