柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式，它刻画了内积空间中两个向量之间的夹角关系。在许多数学应用中都有着广泛的用途。本文将介绍柯西不等式的六大基本题型，帮助你轻松掌握这一不等式。

柯西不等式的六大基本题型

题型 1：标准形式

最常见的题型是标准形式：

``` 若 a, b 是实数，则： - |a + b| ≤ |a| + |b| - |a - b| ≥ |a| - |b| ```

题型 2：向量的内积

在内积空间中，柯西不等式可以表示为：

``` (u, v) ≤ ||u|| ||v|| ```

其中 (u, v) 表示 u 和 v 的内积，||u|| 和 ||v|| 表示它们的长度。

题型 3：向量之间的距离

对于内积空间中的两个向量 u 和 v，它们的距离可以表示为：

``` ||u - v||² = ||u||² + ||v||² - 2(u, v) ```

题型 4：标量乘法的性质

对于标量 k 和向量 u，柯西不等式的标量乘法性质如下：

``` ||ku|| = |k| ||u|| ```

题型 5：三角不等式

柯西不等式可以推广为三角不等式：

``` ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| ```

题型 6：施瓦兹不等式

施瓦兹不等式是柯西不等式的特殊情况，适用于两个 p 范数之和：

``` ||u + v||_p ≤ ||u||_p + ||v||_p ```