在数学分析中，二阶常微分方程有着广泛的应用。其通解公式为解决此类方程提供了有效途径。

二阶常微分方程之通解公式

通解公式

$$y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$$

其中：

(c_1) 和 (c_2) 是待定系数。 (y_1(x)) 和 (y_2(x)) 是二阶常微分方程的两个线性无关解，又称基函数。

基函数求解

基函数可通过求解以下特征方程获得：

$$ar^2 + br + c = 0$$

其中 (a)、(b)、(c) 是方程系数。

若特征方程有两个相异实根 (r_1) 和 (r_2)，则基函数为： $$y_1(x) = e^{r_1x}, quad y_2(x) = e^{r_2x}$$ 若特征方程有两个共轭复根： $$r = alpha pm beta i,$$ 则基函数为： $$y_1(x) = e^{alpha x}cosbeta x, quad y_2(x) = e^{alpha x}sinbeta x$$ 若特征方程有重根 (r)，则基函数为： $$y_1(x) = e^{rx}, quad y_2(x) = xe^{rx}$$

应用

通解公式广泛用于求解物理、工程等领域的二阶常微分方程。例如：

求解阻尼振子方程： $$y''(x) + 2zeta y'(x) + y(x) = 0$$

求解热传递方程： $$frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0$$

求解步骤

1. 求取特征方程的根。 2. 根据根的类型确定基函数。 3. 求出通解公式，并代入待定系数。 4. 根据边界条件求解待定系数。

通解公式的意义