泰勒公式f(x)=什么？

Rn(x)=[f(n+1)(k)/(n+1)!](x-x0)^（n+1).其中k在x0与x之间.

关于泰勒公式的导数高考题 泰勒公式做导数大题

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（备注：f(利用sinx的Taylor展式sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...，故n)(x0)是f(x)在x0点的n阶导数）

f(x)要有n+1阶导数就是为了求Rn(x)=[f(n+1)(k)/(n+1)!](x-x0)^（n+1).

扩展资料：泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，

在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x（1）一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

参考资料：

大学工数 n阶导数问题 泰勒公式

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

有. 但f(x)的泰勒级数未必收敛于函数f(x)，那么这样的泰勒级数也没有讨论的意义，所以从函数f(x)的泰勒级数是否收敛于f(x)这个角度来说，函数只有“可导”的条件是不足以保证泰勒级数存在的.

e^(-1/x^2)，x≠0可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）

0，x＝0

函数f(x)在x＝0处的函数值是0，任意阶导数也存在，都是0，所以f(x)在x＝0处的泰勒级数是：0＋0×x＋0×x^2＋……＋0×x^n＋……，很显然，泰勒级数不收敛于f(x).

所以要保证函数f(x)在x0处的泰勒级数在(x0-R,x0+R)内收敛于f(x)需要的条件是f(x)在x0处的泰勒公式的余项一致收敛于0

Y等于根号3X+6分之1,求Y的导数？

此题其实无须用泰勒公式求解，因为其高阶导数很有规律，很容易就直接求得，如果先求泰勒公式的话，反而画蛇添足了，因为此处的泰勒公式也是通过求解在0点的n阶导数得到的。

f'(x)=1/(1+x^2) （和y=arctanx相同）

y=arctanx的n阶导：

y=x－(x^3)/3 + (x^5)/5……(-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)

再由泰勒公式

对比x^n的系数，当n=2k时，f(0)n阶导=0

当n=2k+1，f(0)n阶导= (-1)^k (2K)!

求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。

主要是利用表达式的性。

一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。

另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，为了n阶泰勒公式f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)^2+.+[f(n)(x0)/n!](x-x0)^n+Rn(x)的拉格朗日余项Rn(x).f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）

比较两个表达式中x^n的系数，得：

当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0；

泰勒公式求高阶导数

由此知道f^(6)(0)/6当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！!=-1/3!，故

泰勒公式求高阶导数是（sinkx）=knsin（kx+nπ/2）、（coskx）=kncos（kx+nπ/2）、（Inx）=-1（n-1）/x。

高阶导数是二阶和二阶以上的导数统称，而且随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。

泰勒公式求n阶导数

泰勒公式是一个常用的数学工具，用于逼近函数在某一点f(x)的极值之和为f(x1)＋f(x2)＝ln((2)解：f(x)的定义域为(－a，＋∞)， ．x1＋a)＋x12＋ln(x2＋a)＋x22处的值。它表示为：

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x - a)^n/n!

其中，f(x)是函数f在点x处的值，f'(a)是函数f在点a处的一阶导数，f''(a)是函数f在点a处的二阶导数，以此类推。

在求n阶导数时，步是求出函数f在点a处的n阶导数，即f^(n)(a)。第二步是用f^(n)(a)和前面的项求出泰勒公式的n阶项，即f^(n)(a)(x - a)^n/n!。

在代入x = 0之前，函数f在点a处的n阶导数是f^(n)(a)。它表示函数f在点a处的变化速度，反映了函数f在点a处的变化趋势。例如，如果f^(n)(a) > 0，则函数f在点a处处于上升趋势；如果f^(n)(a) < 0，则函数f在点a处处于下降趋势。

利用泰勒公式求高阶导数问题，如下

(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

利用莱布尼茨公式做：记

y'=1/(1+x^2)=1－x^2+x^4……(-1)^n x^2n

u(x)

=x^2，v(x)=

sinx，

则u'(x)

=2x，u"(x)

=2，u(k)(x)

=0，k

=3,

4,

…,

n，

v(k)(x)=

sin(x+kπ/2)，k

=1,

2,

…,

n，

于是，利用莱布尼茨公式，f

的n

阶导数

f(n)(x)

=Σ(k=0~n)C(n,k)u(k)(x)v(n-k)(x)

=……

注：抱歉，用泰勒公式真不懂。要计算

f(x)

的泰勒公式，需用到它的高阶导数，按你的要求将陷入自循环，依本人的知识水平实在是无能为力。

一个数学题 请用泰勒公式证明

例如f(x)＝

带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式

所以，当x∈R时， ．

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(ξ)/2x^2

(ξ在0与x之间)

=f'(0)x+f''(ξ)/2x^2

∫{-a,a}f(x)dx=∫{-a,a}[f'(0)x+f''(ξ)/2x^2]dx=

（a^3/3）f''(ξ)

f''(ξ)=（3/a^3）∫{-a,a}f(x)dx

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导数及其应用测试题

一、选择题：

1．曲线y＝ex在点(1，e)处导数为( )

(A)1 (B)e (C)－1 (D)－e

2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处切线的倾斜角为( )

(A)30° (B)45°

(C)60° (D)120°

3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f '(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4．函数f(x)＝xlnx的最小值是( )

(A)e (B)－e (C)e－1 (D)－e－1

5．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f '(x)g(x)－f(x)g '(x)＜0，则当a＜x＜b时，一定有

(A)f(x)g(x)＞f(b)g(b) (B)f(x)g(a)＞f(a)g(x)

(C)f(x)g(b)＞f(b)g(x) (D)f(x)g(x)＞f(a)g(a)

二．填空题

7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f'(1)＝______．

8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的值是______；最小值是_______________．

9．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f '(x)，若f '(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为______．

三、解答题：

11．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．

12．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．

(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．

13．设a＞0，函数 ．

(2)若不等式 对任意实数x恒成立，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2．

(1)若当x＝－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．

一、选择题：

1．B 2．B 3．A 4．D 5．C

二、填空题：

6．1 7．－2 8．5；－15 9．y＝－3x 10．

三、解答题：

11．(1)f '(x)＝(1＋kx)ekx，令(1＋kx)ekx＝0，得 ．

若k＞0，则当 时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减；当 时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增．

若k＜0，则当 时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增；当 时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减．

(2)若k＞0，则当且仅当 ，即k≤1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增；若k＜0，则当且仅当 ，即k≥－1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增．

综上，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．

12．解：(1)f '(x)＝6x2＋6ax＋3b，

因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f '(1)＝0，f '(2)＝0．

f '(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

当x∈(0，1)时，f '(x)＞0；当x∈(1，2)时，f '(x)＜0；当x∈(2，3)时，f '(x)＞0．

所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c．

则当x∈[0，3]时，f(x)的值为f(3)＝9＋8c．

因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，

所以 9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9，

因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

13．解：对f(x)=x^4-x^6/3!+x^8/5!-x^10/7!+...函数f(x)求导得：f '(x)＝eax(ax＋2)(x－1)．

(1)当a＝2时，f '(x)＝e2x(2x＋2)(x－1)．

令f '(x)＞0，解得x＞1或x＜－1；

令f '(x)＜0，解得－1＜x＜1．

所以，f(x)单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；f(x)单调减区间为(－1，1)．

(2)令f '(x)＝0，即(ax＋2)(x－1)＝0，解得 ，或x＝1．

由a＞0时，列表分析得：

x1 (y=∑ f(0)n阶导 x^n / n!1，＋∞)

f'(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

当 时，因为 ，所以 ，从而f(x)＞0．

对于 时，由表可知函数在x＝1时取得最小值 ，

由题意，不等式 对x∈R恒成立，

所以得 ，解得0＜a≤ln3．

14．(1)解：对函数f(x)求导数，得 ．

依题意有f '(－1)＝0，故 ．

从而 ．

f(x)的定义域为 ，当 时，f '(x)＞0；

当 时，f '(x)＜0；

当 时，f′(x)＞0．

方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式 ＝4a2－8．

①若 ＜0，即 ，在f(x)的定义域内f '(x)＞0，故f(x)无极值．

②若 ＝0，则 或

若当 时，f '(x)＝0，

当 或 时，f '(x)＞0，所以f(x)无极值．

若 ，f '(x) ＞0，f(x)也无极值．

③若 ＞0，即 或 ，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实数根

．当 时，x1＜－a，x2＜－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．

当 时，x1＞－a，x2＞－a，f '(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，所以f(x)在x＝x1，x＝x2处取得极值．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为 ．

＝ln[(x1＋a)(x2＋a)]＋(x1＋x2)2－2x1x2＝ln ＋a2－1＞1－ln2＝ln ．

泰勒公式求高阶导数

扩展资料：

^利用sinx的Taylor展式sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...，故

拉格朗日在1797年之前，提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

f^(6)(0)=-6！/3!=-120。

Taylor展式有性：其表达式必定是这样的：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+....+f^(n)(0)x^n/n!+...

即必有x^n的系数时f^(n)(0)/n!。

高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：

（2）二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时，逐阶求导实际是行不通的，此时需研究专门的方法。

参考资料来源：

f^(6)(0)=-6！/3!=-120。

怎么用泰勒公式求在0点的高阶导数?

此题可用泰勒公式求其在0点的高阶导数，在其它点的高阶导数无法用泰勒公式求解：

过程如下：

在x=0处展开y=1/(ax+b):

1/ax+b=(1/b)-(a/b^2)x+从而，f(x)分别在区间 内单调递增，在区间 内单调递减．(a^2/b^3)x^2-(a^3/b^4)x^3+……+(-1)^(n)[a^n

/b^(n+1)]x^n+o(x^n)

如果对1/(ax+b)

求在0点的n阶导数，显然上式中低于x^n次方的项在求n阶导数后皆为0，而高于x^n的项数，求n阶导数后仍旧含有x项，代入0后也为0，只有x^n的项在求n阶导数后变为：n!

(-1)^(n)[a^n

/b^(n+1)]，这就是1/ax+b在0点的n阶导数值。

用泰勒公式求某个函数在0点的高阶导数，是个重要的方法，一般适用于高阶导数计算非常麻烦，而其泰勒公式则可以通过代换比较容易求得的情况。

我以前做过的一个题目，你可以参考一下，是关于用泰勒公式求在0点的高阶导数在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏。。