简介

柯西积分不等式：复分析中的一项基本工具

柯西积分不等式是复分析中的一项基本工具，它提供了在闭合集合上对全纯函数的最大值和边界值之间的关系。

定理

设 U 是复平面上的开集，γ 是 U 中的闭合可整流曲线，且 f(z) 是 U 中的连续全纯函数。设

``` M = max{|f(z)| : z ∈ γ} ```

则对于任何 z ∈ U，都有：

``` |f(z)| ≤ M / d(z, γ) ```

其中 d(z, γ) 是 z 到曲线 γ 的最小距离。

证明

假设 z ∈ U 且 d(z, γ) = d。对于任何位于γ上的点ζ，构造一个以ζ为中心的半径为d/2的圆盘D。由于f(z)在D中是全纯的，我们可以应用柯西积分公式获得：

``` f(z) = (1/2πi) ∫γ f(ζ) / (ζ - z) dζ ```

使用三角不等式，我们可以得到：

``` |f(z)| ≤ (1/2π) ∫γ |f(ζ)| / |ζ - z| dζ ```

应用积分上限M和距离d得到：

``` |f(z)| ≤ (1/2π) ∫γ M / d dζ = M / d ```

因此，柯西积分不等式成立。

应用

柯西积分不等式在复分析中有着广泛的应用，包括：

证明最大模原理 构造解析延续 估计全纯函数的收敛半径

推广