数学中，一个数要么是有理数，即可以用两个整数之比表示，要么是无理数，即无法如此表示。自古以来，人们一直在争论根号2属于哪一类数。

根号2：是有理数还是无理数？

有理数论

一些数学家认为根号2是有理数。他们的论据基于这样的假设：任何数都可以表示为一系列分数的极限。对于根号2，他们可以构造一个分数序列，每个分数都更接近根号2。例如：

1. 1/1 2. 1.4/1 3. 1.41/1 4. 1.414/1

当分数序列趋于无限时，它将接近根号2。因此，根据这个假设，根号2应该是有理数。

无理数论

然而，在公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯证明了根号2是无理数。他的证明基于一个称为毕达哥拉斯定理的几何原理，该定理指出直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和。

如果根号2是有理数，则它可以表示为两个整数之比 p/q，p 和 q 互质。然而，希帕索证明了：

如果 p 和 q 都是偶数，则 p^2 和 q^2 都是偶数，因此 p^2 + q^2 也是偶数。 如果 p 是偶数而 q 是奇数，则 p^2 是偶数，q^2 是奇数，因此 p^2 + q^2 是奇数。 如果 p 和 q 都是奇数，则 p^2 和 q^2 都是奇数，因此 p^2 + q^2 也是奇数。

无论 p 和 q 如何，我们都无法得到一个既是偶数又是奇数的数字。因此，根号2不能表示为两个整数之比，即它是一个无理数。

影响

希帕索的证明对数学产生了深远影响。它表明，并非所有数字都是有理数，并由此开启了无理数理论的时代。该理论在数学的许多领域都有应用，包括几何、代数和微积分。