非齐次线性微分方程是指形如：

非齐次线性微分方程的求解

y' + p(x)y = g(x)

的微分方程，其中 p(x) 和 g(x) 是给定的函数。求解此类方程涉及两个步骤：求解齐次方程和求解非齐次方程。

齐次方程

y' + p(x)y = 0

其通解为：

y = c e^(-∫p(x)dx)

其中 c 是任意常数。

非齐次方程

y' + p(x)y = g(x)

其通解为：

y = y_h + y_p

其中 y_h 是齐次方程的通解，y_p 是非齐次方程的特殊解。

求解 y_p 的方法有多种，常用的方法包括：

变系数法：将 y_h 代入非齐次方程，得到关于 v 的一阶线性齐次微分方程。解得 v 后，y_p = v y_h。 消灭未知数法：假设 y_p = u y_h，其中 u 是待求函数。将此形式代入微分方程，解得 u。然后，y_p = u y_h。 不确定系数法：假设 y_p 是 g(x) 的一个多项式、指数或三角函数。将此形式代入微分方程，求解系数。

求得 y_p 后，非齐次方程的通解就确定了。

例题

求解微分方程：

y' + 2xy = x^2

解：

齐次方程：y' + 2xy = 0，通解：y = ce^(-x^2)。

非齐次方程：y' + 2xy = x^2，使用不确定系数法：

假设 y_p = Ax^2 + Bx + C，代入方程得：

2Ax + 2B = x^2 2A = 0 2B = 1

解得：A = 0，B = 1/2，C = 0。

因此，y_p = (1/2)x^2。