引言 在数学分析中，霍尔德连续性是实值函数的一个重要性质，它描述了函数在给定区间内的平滑程度。霍尔德连续性对于理解微分方程、泛函分析和其他领域有着广泛的应用。

标题：连续函数的霍尔德连续性

霍尔德连续性的定义 设 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的实值函数，α ∈ (0, 1]。若存在常数 K > 0，使得对任意 x1, x2 ∈ [a, b] 都有：

``` |f(x1) - f(x2)| ≤ K |x1 - x2|^α ```

则称 f(x) 在 [a, b] 上是 α-霍尔德连续的。

性质 霍尔德连续性具有以下性质：

α = 1 时，即为利普希茨连续性。 α 越大，函数越光滑。 霍尔德连续函数在区间端点不一定连续。 霍尔德连续函数在区间内几乎处处可导。

证明 霍尔德连续性的证明涉及使用中值定理及其推广。这里省略证明过程。

应用 霍尔德连续性在许多数学领域中都有应用，包括：

微分方程的求解 傅里叶分析 泛函分析 分形几何

例子 一个简单的霍尔德连续函数的例子是 f(x) = |x|^α。这个函数在 [0, 1] 上是 α-霍尔德连续的，其中 0 < α ≤ 1。