arcsin 求导公式

arcsin 求导公式及其应用

arcsin(x) 的导数可以用以下公式计算：

``` d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2) ```

其中 x 是一个在 -1 和 1 之间的实数。

证明

让我们考虑单位圆 x^2 + y^2 = 1。令 θ = arcsin(x)，则 sin(θ) = x。

对 θ 求导，得到：

``` dθ/dx = cos(θ) / (d/dx sin(θ)) ```

根据 sin(θ) = x，我们有：

``` d/dx sin(θ) = cos(θ) ```

因此，

``` dθ/dx = cos(θ) / cos(θ) = 1 ```

使用 θ = arcsin(x)，我们得到：

``` d/dx arcsin(x) = dθ/dx = 1 ```

然后除以 sqrt(1 - x^2) 以得到最终公式：

``` d/dx arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2) ```

应用

arcsin 求导公式在微积分和三角学中有着广泛的应用，例如：

计算链式法则的导数 求解微分方程 查找曲线的斜率和切线 计算定积分

例子

求导：

``` y = arcsin(2x - 1) ```

使用链式法则，得到：

``` dy/dx = (1 / sqrt(1 - (2x - 1)^2)) d/dx (2x - 1) = 2 / sqrt(4x^2 - 4x + 2) ```

结论