等比数列是一种连续数字序列，其中相邻两项的比值是常数。求等比数列的和在数学和现实世界中都有广泛的应用。

等比数列求和：数学工具与应用

等比数列求和公式

设等比数列为 a、ar、ar²、ar³、...，其中 a 是首项，r 是公比。那么，等比数列的前 n 项之和为：

``` S_n = a(r^n - 1) / (r - 1) ```

其中：

S_n 是等比数列前 n 项之和。 a 是首项。 r 是公比。

公式推导

等比数列求和公式的推导如下：

``` S_n = a + ar + ar² + ... + ar^(n-1) rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n S_n - rS_n = a - ar^n S_n(1 - r) = a(1 - r^n) S_n = a(1 - r^n) / (1 - r) S_n = a(r^n - 1) / (r - 1) ```

应用

等比数列求和在许多现实世界的问题中都有应用，例如：

几何级数增长：细菌培养或资金投资时，增长率是常数，形成等比数列。 利息计算：复合利息是一种利滚利的投资，每期利息都是上一期的常数倍数，形成等比数列。 人口增长：人口增长率是常数，形成等比数列。 放射性衰变：放射性元素的衰变率是常数，形成等比数列。

例子

假设一个等比数列的首项为 2，公比为 3。要计算等比数列的前 4 项之和，我们可以使用公式：

``` S_4 = 2(3^4 - 1) / (3 - 1) = 2(81 - 1) / 2 = 80 ```

因此，等比数列的前 4 项之和为 80。

总结