正态分布，又称常态分布，是一种常见的概率分布，在自然界和科学研究中有着广泛的应用。高中阶段，学生需要掌握正态分布的三个基本公式，以解决相关问题。

高中阶段正态分布的三大公式

公式一：正态分布概率密度函数

$$f(x) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{-frac{1}{2}left(frac{x-mu}{sigma}right)^2}$$

其中：

f(x) 表示 x 值的概率密度 μ 表示分布的均值 σ 表示分布的标准差 π 约为 3.14

公式二：概率积分变换

$$P(X

其中：

P(X

公式三：z-分数变换

$$z = frac{x-mu}{sigma}$$

其中：

z 是 x 值的 z-分数 x 是原始数据值 μ 是分布的均值 σ 是分布的标准差

应用

这三个公式在正态分布的应用中至关重要：

计算概率：使用概率密度函数计算给定值或值范围的概率。 寻找百分位数：利用概率积分变换找到给定概率对应的值。 标准化数据：通过 z-分数变换将数据转化为标准正态分布，以便于进行比较和分析。

练习题

1. 正态分布的均值为 50，标准差为 10。计算 x = 65 的概率密度。 2. 假设学生的考试成绩服从正态分布，均值为 75 分，标准差为 5 分。找到 80 分以上的学生的百分比。 3. 将 x = 72 分转换为 z-分数。

解答