引言

一元三次方程因式分解

一元三次方程因式分解是指将一个三次多项式分解成一系列低次多项式的乘积。掌握因式分解技术对于求解三次方程、化简代数表达式以及解决其他数学问题至关重要。

解法

一元三次方程的一般形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0。因式分解涉及以下步骤：

1. 确定方程根：找出使方程等于零的三次多项式的根。这可以通过使用韦达定理或卡尔丹公式完成。 2. 建立线性因式：对于每个根 x₀，建立线性因式 (x - x₀)。 3. 合成因子：将线性因式相乘以得到二次因子。 4. 求二次因子的根：使用判别式求出二次因子的根。 5. 建立完全因式分解：将线性因式和二次因子相乘，得到三次方程的完全因式分解。

实例

考虑一元三次方程 x³ - 5x² + 7x - 3 = 0。

求根：使用韦达定理，根为 x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3。 建立线性因式：(x - 1), (x - 2), (x - 3) 合成因子：二次因子为 (x² - 3x + 2) 求二次因子的根：判别式为 -7，因此没有实根。 建立完全因式分解：(x - 1)(x - 2)(x² - 3x + 2)

其他方法

除了上述步骤外，还有其他用于因式分解三次方程的方法，包括：

因式定理法：使用因式定理确定三次多项式的因子。 合成除法法：通过反复除法来分解三次多项式。 三角分解法：使用三角函数将三次多项式分解成二次多项式的乘积。

结论