三角形余弦定理是一个基本且有用的几何定理，它将三角形中两条边和它们之间的夹角与第三条边的长度联系起来。该定理指出：

三角形余弦定理：几何中的关键定理

对于任意三角形，其中 a、b、c 分别是三条边的长度，θ 是 a 和 b 之间的夹角，则：

``` c² = a² + b² - 2ab cos(θ) ```

证明

三角形余弦定理可以通过将三角形分成两个直角三角形来证明。如下图所示，将三角形 ABC 分割成直角三角形 AHC 和 BHC。

[三角形分割示意图，显示直角三角形 AHC 和 BHC]

在三角形 AHC 中，根据勾股定理，我们有：

``` AC² = AH² + HC² ```

同样，在三角形 BHC 中，我们有：

``` BC² = BH² + HC² ```

由于 HC是两条直角三角形的共边，两条方程中的 HC² 相消。因此，我们有：

``` AC² + BC² = AH² + HB² ```

现在，考虑三角形 ABC。根据勾股定理，我们有：

``` AB² = AH² + HB² ```

将此方程代入上一个方程中，可得：

``` AC² + BC² = AB² ```

展开并重新排列，得到三角形余弦定理：

``` c² = a² + b² - 2ab cos(θ) ```

应用

三角形余弦定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用。它可以用于：

计算三角形中已知两条边和夹角的第三条边的长度 计算三角形中已知两条边和第三条边的长度的夹角 求解关于三角形性质的问题 在物理学、工程和导航等领域解决实际问题

注意事项