在数学中，以下极限经常出现：

1+n分之一的n次方的极限

$$ lim_{ntoinfty} left( 1 + frac{1}{n} right)^n$$

这个极限值被称为e，是一个重要的数学常数，约等于2.71828。

证明

为了证明这个极限，我们可以使用泰勒级数展开式。对于任何实数x，(1+x)^n的泰勒级数展开式为：

$$ (1+x)^n = 1 + nx + frac{n(n-1)}{2!}x^2 + frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + cdots $$

当x=1/n时，(1+1/n)^n的泰勒级数展开式成为：

$$ left( 1 + frac{1}{n} right)^n = 1 + 1 + frac{1}{2} left( frac{1}{n} right)^2 + frac{1}{3!} left( frac{1}{n} right)^3 + cdots $$

当n趋于无穷大时，级数中的前两项占主导地位。因此，极限可以近似为：

$$ lim_{ntoinfty} left( 1 + frac{1}{n} right)^n approx lim_{ntoinfty} left( 1 + 1 + frac{1}{2} left( frac{1}{n} right)^2 right) = e$$

意义

极限1+n分之一的n次方的极限具有重要意义，因为它与许多数学和自然界中的现象有关。

自然对数：e是自然对数函数的底数，记作ln(x)。 复利：当一个本金每年以利率r复利时，n年后的金额为：P(1+r)^n。因此，当时间趋于无穷大时，金额会以e为底数指数增长。 连续增长：当一个数量以恒定速率连续增长时，时间的增长率可以用e为底数的指数函数来表示。 正态分布：正态分布的概率密度函数中也包含e。