三角函数辅助角公式是微积分和三角学中广泛使用的重要工具。它将繁琐的复杂三角函数表达式转化为更简单的等价表达式，从而简化计算并拓展三角函数的应用。

三角函数辅助角公式：拓展三角函数应用的利器

公式定义

设 θ 是一个角，辅助角 φ 为一个满足条件 0 ≤ φ ≤ π/2 的角。辅助角公式如下：

sin θ = cos φ cos θ = sin φ tan θ = cot φ

推导

这些公式可以通过单位圆来推导。在单位圆中，点 (cos θ, sin θ) 的 y 坐标等于 sin φ，而 x 坐标等于 cos φ。因此，sin θ = cos φ 和 cos θ = sin φ。此外，tan θ = sin θ / cos θ = cot φ。

应用

辅助角公式在以下方面有着广泛的应用：

化简三角式：将复杂的三角式转换为简单的等价式。例如，sin (π/3 + θ) = cos θ。 求解三角方程：通过将复杂的方程转换为简单的形式，便于求解。例如，cos 2θ = 1/2 可转换为 cos θ = ±1/2。 积分：用辅助角公式将复杂的积分转换为简单的形式，便于求解。例如，∫ sin (π/2 - θ) dθ = -cos θ + C。 微分：用辅助角公式将复杂的导数转换为简单的形式，便于求解。例如，d/dθ (sin (π/3 + θ)) = cos θ。 几何学：辅助角公式用于计算圆、球和三角形的面积和体积。例如，三角形 ABC 的面积可表示为：A = (1/2)ab sin θ = (1/2)ab cos φ。

实例

化简：sin (π/6 + θ)

使用辅助角公式：φ = π/6 + θ。因此，sin (π/6 + θ) = cos φ = cos (π/6 + θ)。

求解：cos θ = √3/2

使用辅助角公式：φ = arccos (√3/2) = π/3。因此，θ = π/3 - φ = π/6。

拓展