用matlab做矩阵运算的时候为什么要先算条件数?

一个矩阵的条件数是一个矩阵是否良态的表征，矩阵的条件数越大，矩阵越病态，在有限精度下，当矩阵的条件数与10^16同阶时，可认为该矩阵奇异。例如求解线性方程组时，系数矩阵条件数越大，解的稳定性越；矩阵求逆时，条件数越大，精度越。因此矩阵运算前算出条件数，可以对问题的好坏做出提前判断，方便求解方法的选择。

矩阵条件数的含义 矩阵的条件数的计算

矩阵条件数的含义 矩阵的条件数的计算

矩阵条件数的含义 矩阵的条件数的计算

矩阵的条件数是什么?

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积。

即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数：函数cond(A)1、cond(A)2以及cond(A)∞。

一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。

如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成abs(特征值／小特征值）。

什么是矩阵是矩阵奇艺值，条件数，干啥用的

奇异值是A^TA的特征值。。

条件数是A的的特征值与小的特征值的比值。

奇异值在对矩阵A做SVD分解（奇异值分解）时，按从大到小的次序依次出线在对角矩阵V的对角线上。。

条件数为无穷时，矩阵A奇异（行列式为0）。

条件数不为无穷时，矩阵A可逆。

当条件数很大时，虽然可以求得矩阵A的逆阵。但用数值解法（利用计算机）来求解矩阵A的逆阵的结果不稳定（不靠谱） 。。

条件数越大，逆阵结果越不稳定。。

条件数的介绍

条件数是线性方程组Ax=b的解对b中的误或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A的逆‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。

一个矩阵的条件数为1代表什么?

正定矩阵对角线上的元素应该全都是正的。因为：a正定，则任意的非零向量x有：

xtax>0恒成立，如果a中对角线上第n个位负数的话，那么设x向量为第n个元素非零，其他的元素皆为0，那么此时a所对应的二次型的值就为负数了，与a正定相矛盾。

如果是方阵在2-范数下的条件数，那么cond(A)=1

<=>

A是某个酉阵的非零常数倍

粗略地讲，条件数越大说明这个矩阵越接近于一个奇异矩阵

矩阵的条件数是何意思呀？

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。

函数

cond(A,1)、cond(A)或cond(A)

是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

矩阵的条件数

关于矩阵的条件数、病态方程组等，这些概念是计算数学中比较重要的概念，这里只作简单的介绍。

考虑线性方程组

地球物理数据处理基础

完全由它的系数矩阵A和右端向量b所确定。在求解线性方程组时，这些都作为已知数据。在实际问题中，这些数据往往由观测或通过其他计算得到的，因而必定带有误或某种不确定性的影响，从而引起解的误或解的不确定性，因而有必要对线性方程组的性态进行研究。

先定系统矩阵A非奇异，是的，而右端向量b有误，设它可以表示为b＋δb，并且同时设解的误为δx，则有

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显然，Aδx＝δb，所以，δx＝A－1δb，从而有

‖δx‖≤‖A－1‖·‖δb‖

又由原方程（3－11）式有

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因此

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定b≠0，因而x≠0，我们有

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如果定b是的，而A有微小误（扰动），表示为A＋δA，并且相应的解为x＋δx，此时

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定A＋δA非奇异，则

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因为原式x＝A－1b，所以

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后得到

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从式（3－15）和式（3－19）可以看到，线性方程组解的相对误与观测数据相对误之间的关系可以由‖A－1‖·‖A‖来确定。我们给‖A－1‖·‖A‖一个名称，即对非奇异矩阵A，称‖A－1‖·‖A‖为矩阵A的条件数，记作cond（A）。

矩阵条件数与所取的矩阵范数有关，常用的是范数‖A‖∞和谱范数‖A‖2，相应的条件有

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和地球物理数据处理基础

当A为对称矩阵时，其谱条件数为

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其中：λ1，λn为矩阵ATA的和小的特征值。

条件数具有如下性质：

（1）任何非奇异矩阵A，都有cond（A）≥1，cond（A）＝‖A‖·‖A－1‖≥‖A－1 A‖＝1；

（2）设A为非奇异阵，并且c≠0（常数），则cond（cA）＝cond（A）；

（3）如果A为正交矩阵，则cond（A）2＝1；

（4）若A为非奇异矩阵，R为正交矩阵，则cond（RA）2＝cond（AR）2＝cond（A）2。

由式（3－15）和式（3－19）可知，若cond（A）不太大，则数据误对解的影响不大。反之，若cond（A）很大，则数据误对解的影响很大。若线性方程组系数矩阵A的条件数cond（A）相对很大，我们就称A（对求解线性方程组而言）是“病态”的，并且称A是“病态”矩阵，或者说A是坏条件的。矩阵“病态”性质是矩阵本身的特性。A条件数越大，病态程度越，也就是越难得到方程组比较准确的解。反之，则称A是“良态”的。

［例］计算 的各种和范数和条件数。

解：根据定义可算出‖A‖1＝6，‖A‖∞＝7， 5.477，

但计算‖A‖2时，要求出ATA的特征值λ1，λ2。在线性代数里，求使方程

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或（Q－λI）x＝0具有非零解的特征值λ，只需对特征多项式求根，即求解特征方程

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本例中

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其特征方程为

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即（10－λ）（20－λ）－14×14＝0

经展开，得

λ2－30λ＋200－196＝0

或者

λ2－30λ＋4＝0

解此二次方程得

λ1＝15＋14.866＝29.866

λ2＝15－14.866＝0.144

故地球物理数据处理基础

从而

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这里简单介绍特征值的几何意义，对2阶矩阵 它是通过点Q1（10，－14）和点Q2（－14，－20）的一个椭圆，其长半轴就是特征值λ1＝29.866，短半轴是特征值λ2＝0.144，两个特征值之比就描述了这个椭圆的奇异度。对3阶矩阵，就是一个椭球，对n阶矩阵就是一个所谓超椭球，它的、小半轴之比就表明这个超椭球的奇异度。关于计算n阶矩阵的特征值和特征向量的方法有幂法和反幂法，雅可比法、豪斯荷尔德法和QR法等，可参考有关书籍。