引言

计算不定积分：求解微积分的基础

不定积分是微积分的基本运算之一，其本质在于找到一个函数，其导数等于被积函数。它在实际应用中至关重要，例如计算体积、面积和其他物理量。

基本概念

设 (f(x)) 是一个连续函数，则其不定积分记为：

$$int f(x) dx$$

其中 (C) 是任意常数。这意味着不定积分可能有多个原函数，它们只相差一个常数。

积分规则

计算不定积分需要遵循一些基本规则：

线性性：$$int (af(x) + bg(x)) dx = aint f(x) dx + bint g(x) dx$$ 幂次规则：$$int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, quad n neq -1$$ 三角函数规则：$$int sin x dx = -cos x + C$$ $$int cos x dx = sin x + C$$ 分部积分：$$int u dv = uv - int v du$$

计算技术

有以下几种常用的计算不定积分的技术：

代换法：将被积函数用另一个变量代换，以简化积分。 部分分式积分：将有理函数分解成部分分式，然后分别积分。 三角恒等式：利用三角恒等式将被积函数化简成更简单的形式。

应用

不定积分在许多应用中都有用，包括：

计算面积和体积 计算重心和矩 求解微分方程 建模物理过程

总结