导数公式

arctanx 的导数：解析和应用

arctanx 的导数为：

``` d/dx(arctanx) = 1/(1 + x^2) ```

解析

arctanx 的导数可以从其三角定义来得到。arctanx 定义为：

``` arctanx = θ, 其中 tanθ = x ```

对两侧求导，得到：

``` d/dx(arctanx) = d/dx(θ) ```

使用链式法则，得到：

``` d/dx(arctanx) = cosθ/(1 + tan^2θ) ```

代入 tanθ = x，得到：

``` d/dx(arctanx) = cosθ/(1 + x^2) ```

应用

arctanx 的导数在微积分的许多应用中都非常有用，包括：

求积分：arctanx 的导数为 1/(1 + x^2)，因此其原函数为 arctanx + C，其中 C 为积分常数。 求切线方程：在点 (a, arctana) 处的切线方程为：

``` y - arctana = (1/(1 + a^2)) (x - a) ```

求曲率：曲率是曲线弯曲程度的度量，arctanx 的曲率为：

``` κ = |d^2/dx^2(arctanx)| / (1 + (d/dx(arctanx))^2)^(3/2) ```

示例

求曲率 κ = |d^2/dx^2(arctanx)| / (1 + (d/dx(arctanx))^2)^(3/2)。

解：

首先求 arctanx 的一阶导数：

``` d/dx(arctanx) = 1/(1 + x^2) ```

然后求其二阶导数：

``` d^2/dx^2(arctanx) = -2x/(1 + x^2)^2 ```

代入一阶导数和二阶导数，得到：