求高中数列的全部解题方法，公式

分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…

其实我所作的不过是剪刀加糨糊的工作 希望对你有是所帮助

高考求通项公式类型题 求通项例题

高考求通项公式类型题 求通项例题

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

构造法求数列的通项公式

构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。

1、构造等n+λa数列或等比数列

由于等数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

事无巨细，说实话要全部是不可能的，几个常用的还是有的：

1.裂项：常用；

2.构造：解数列的做法，很酷，但考试写上去遇见一个水平挖的老师，

背叛错的可能性很大；

3.利用等等比数列：常见且相对容易搞定；

4.倒序相加：思想很好，有些可以化为这一类，错位相加有时也可以用，

5.利用指数对数的性质：指数可以把加法变成乘法，对数反之

可将乘法变成加法；

----------------------------------------------------------------

说的不是方法是一种必须的想法：

当你遇见一道数列题的时候，当给你一个递推公式时，你的印象是这个公式

像什么，比如你见到a（2n）=2an^2-1你能不能想到cos（2n）=2cos(n)^2-1;

这样想是因为形式相同或相似的式子，通常具有相同或相似的性质，这样你就有

了总的方向，于是事半功倍，水到渠成！

这种想法也是构造的力量源泉。

高考数学数列常考大题题型

n+1+λa

对于高考的数学，数列知识点是高考数学的基础知识，高考的数学中欧也经常会出现数列的大题，下面我为大家整理了一些高考数列的经典题型。

高考数学数列经典大题 (1)已知正数组成的等数列{an}，前20项和为100，则a7?a14的值是()

A.25B.50C.100D.不存在

(2)在等数列{an}中，a1=-2013，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则S2013的值为()

A.-2011B.-2所以1/(a【n+1】-1)=(2-a【n】)/（a【n】-1 ）012C.-2010D.-2013

破题切入点(1)根据等数列的性质，a7+a14=a1+=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)a20，S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14，然后利用基本不等式.

(2)等数列{an}中，Sn是其前n项和，则Snn也成等数列.

(1)A(2)D

解析(1)∵S20=a1+a202×20=100，∴a1+a20=10.

∵a1+a20=a7+a14，∴a7+a14=10.

∵an>0，∴a7?a14≤a7+a1422=25.

当且仅当a7=a14时取等号.

故a7?a14的值为25.

根据等数列的性质，得数列Snn也是等数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2013，公d=1，故S20132013=-2013+(2013-1)×1=-1，所以S2013=-2013.

如何学习数学?史上最强高考励志书《高考蝶变》教你怎样提高成绩，淘宝搜索《高考蝶变》购买。

数学数列知识点掌握技巧 数列。以等等比数列为载体，考察等等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;

(1)数列本身的有关知识，其中有等数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为一题难度较大。

求数列通项公式

（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…

1、等数列、等比数列的通项公式的求法： 若在已知数列中存在：（常数）或的关系，可采用求等、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。 2、非等、等比数列的通项公式的求法。 （1）观察法：通过观察数列中的项与项数的关系，找出项与项数n的关系。 （2）累法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“类法”求通项。 （3）累积法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累积法”求通项。 （4）若在已知数列中存在：或的关系，可以利用求数列的通项。 （5）辅助数列法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可采用“辅助数列的方法求通项：由可以化为： 从而可知：{}是等比数列，求出，进而求。 （6）待定系数法：若在已知数列中相邻三项存在的关系。利用待定系数法可转化为以上类型求通项。 (我有些经典例题，不过你手机看不到的，有需要就上电脑找我要） 求数列的方法通常有化归法（凑配，消项交换把它化为等或等比数列）；倒数交换；对数交换；换元法；叠加法；叠乘法；导数法；错位相减法（比较常考）另外用到这些方法的数列都相对复杂些，你要平时多做题（是专题攻关），多观察然后总结一下规律。不难的 5 55 555 5555 55555 ...... =5/9(9 99 999 9999 99999 ......) =5/9[(10-1) (100-1) (1000-1) (10000-1) (100000-1) ......] =5/9[10 100 1000 10000 100000 ......-n] 你观察一下括号里的数，就这样把它变成等比数列和常数列啦....... 求通项基本上是属于观察法的。。。没有什么具体的方式，因为你的数据是具体的，像这两个里面的第二个，一看就知道是平方的关系，个就像是 2， 3， 4。。。然后依次的关系，这样就可以知道他们通式分别为： 题1:1=1 3=1 2 6=1 2 3 10=1 2 3 4 所以有公式（你应该知道的吧。。连加的公式）所以为（nn 1）/2 题2：就是n2（平方） 基本上在通项里面都不是具体的数字的，然后可以根据不同的方式求解，具体的数据的话就是观察了。。。希望对你有帮助哈。。。。 抱歉 俺忘了 等我明天想想 翻翻书把 其实这种问题不是很难 你去找点这类题目的例题 对着书上的定理什么的 看看，理解之后，再去练习 多练练，自然就能学好了

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等数列，等比这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

等an=a1＋（n～1）d

数列的10种通项公式

数列通项公式的几种求法

数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。

一、常规数列的通项

例1：求下列数列的通项公式

（1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，…

解：（1）an=n(n2—1) （2）an= n（n+1）(（－1）n) （3） an=2n＋1(n2＋1)

评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。

二、等、等比数列的通项

直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公和公比。

三、摆动数列的通项

例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。

解：an=（－1）n－1

变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…

故数列的通项公式为an=1+（－1）n

变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。

分析与解答：若每一项均乘以3(2)，数列相应变为2，0，2，0，…

故数列的通项公式为an=2(3)[1+（－1）n－1 ]

变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。

分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…

故数列的通项公式为an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ]

故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1

四、循环数列的通项

例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。

解：an= 10n(1)

变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。

解：an= 10n(5)

变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。

分析与解答：此数列每一项分别与数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一项对应相加得到的项全部都是1，于是an=1－ 10n(1)

变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。

解：an= 9(7)（1－ 10n(1)）

例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。

解：an=10n－1

分析与解答：此数列每一项都加上1就得到数列10，100，1000，… 故an=10n－1。

变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。

解：an= 9(4)（10n－1）

评注：平日教与学的过程中务必要对基本的数列通项公式进行过关，这就需要提高课堂教与学的效率，多加总结、反思，注意联想与对比分析，做到触类旁通，也就无需再害怕复杂数列的通项公式了。

例5：求下列数列的通项公式

（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…

解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+）

=7×（10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1)）==9(7)（1－10n(1)）

（2）an==3×=3×（1+10+100+…+10n）=3×1－10(1－10n)=3(1)（10n－1）

（3）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1）

（4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）)

评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。

例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。

（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。

解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－例2，在数列{an}中，an＞0，2sn=an+1(a∈N+)2，记f（n）=3n－2= an－an－1

则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1

=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1

=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1

=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)

（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1

则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1

=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)

评注：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等数列，教材对等数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。

七、用累积法求an= f（n）an－1型通项

例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an

an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1

（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)

评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。

八、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项

例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。

解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1

令an＋x=－2（anSn-Sn-1－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－3(1)

∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）

故{ an－3(1) }是公比q为－2，首项为an－3(1)=3(2)的等比数列

∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)

评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有

（A－1）x=B知x=A－1(B)，从而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），于是数列{an＋A－1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为A的等比数列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，从而

an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地，当A=0时{an}为等数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。

推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。

例9：数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。

而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，则x=5(1)。故an＋5(1)·3n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=n(1)＝2（an－1＋5(1)·3n-1(1)）

从而{an＋5(1)·3n(1)}是公比为q=2、首项为a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比数列。

于是an＋5(1)·3n(1)=15(16)×2n－1，则an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－3n－1(1)）

评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例8型。

我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到

an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：

数列{an}满足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通项公式。

在这种做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。

九、通过Sn求an

例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。

解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由于an =5Sn－3………①

则 an-1 =5 Sn-1－3………②

①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an

故an=－4(1)an-1，则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的等比数列，则an=4(3)（－4(1)）n-1

评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式

十、取倒数转化为等数列

例11：已知数列{an}满足a1=1且a

n+1=

an+2(2an)，求an。

解：由a

n+1=

an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)

所以，数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公为d=2(1)的等数列

则an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 从而an=n+1(2)

评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所求数列相关的数列（本例中数列{an(1)}）是等或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。

十一、构造函数模型转化为等比数列

例12：已知数列{an}满足a1=3且a

n+1=

（an－1）2+1，求an。

解：由条件a

n+1=

（an－1）2+1得a

n+1－1=

（an－1）2

两边取对数有lg（a

n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即

故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列

所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg

则an－1= 即an=+1

评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。

十二、数学归纳法

例13：数列{an}满足a1=4且a

n=4－

an－1(4)（n≥2），求an。

解：通过递推关系求出数列前几项如下

a1=4=2+1(2) a2=4－

a1(4)=3=2+2(2) a3=4－

a2(4)=3(8)=2+3(2)

a4=4－

a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－

a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－

a5(4)=3(7)=2+6(2)

猜想：通项公式为an=2+n(2)。下用归纳法给出证明

显然，当n=1时，a1=4=2+1(2)，等式成立

设当n=k时，等式成立，即ak=2+k(2)

则当n=k+1时，a

k+1=4－

ak(4)=4－

k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)

评注：先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

十三、综合应用

例14：已知各项为正的数列{a
n}满足a1=1且a

n2=a

n－12+2（n≥2），求an。

解：由a

n2=a

n－12+2知a

n2－a

n－12=2

则数列{a
n2}是公为2、首项为a

12=1的等数列。

故 a

例15：数列{a
n}满足a1=a2=5且a

n+1=a

n+6a

n－1（n≥2），求an。

解：设a

n=μ（a

n－1），则a

n+1=（μ－λ）a

n+μλa

n－1

而a

n+1=a

n+6a

n－1 则 解得或

当λ=2且μ=3时a

n+1+2a

n=3（a

n+2a

n－1），即

n+1+2a

n, a

n+2a

n－1) =3

则数列{a
n+2a
n－1}是公比为3、首项为a

2+2a

1=15的等比数列。

于是，a

n+2a

n－1=15×3n－1=5×3n 则a

n=－2a

令a

n+x·3n =－2（a

n－1+x·3n－1 ） 则a

n=－2a

n－1－x·3n 故x=－1

于是，a

n－3n =－2（a

n－1－3n－1 ）

从而{a
n－3n }是公比为－2、首项为a

1－3=2的等比数列。

所以，a

n－3n =2×（－2）n－1 则a

n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n

当λ=－3且μ=－2时，同理可求得a

n=3n－（－2）n

于是，数列{a
n}的通项公式为a

n=3n－（－2）n

小结：本文只是介绍了几种常见的求数列通项公式的方法，可以看到，求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。

求数列an的通项公式有哪些方法？

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1 (n=1)

Sn-Sn-1 (n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}

是以-为首项，-1为公的等数列，∴-= -，Sn= -，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

- (n=1)

- (n2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an

≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有

an(或Sn)的式子，使其成为等比或等数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式 (2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N)，由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+n(2)。证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1

(n=1)

(n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

9(B)

8(C)

7(D)

6解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8

∴k=8

选(B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}

是以-为首项，-1为公的等数列，∴-=

-，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

-(n=1)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an

-=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有

an(或Sn)的式子，使其成为等比或等数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式

(2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝

(--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)

，于是在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等数列求通项公式。an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)

(q为非0常数)

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

已知Sn的话，下标减一再相减，除此之外。累加，累乘。

高三总复习 数列部分 高考题 求解析

迭代，就是一种反复算法，这个算法每一次算出的结果都是下一次算法的变量，同样是规律性的。计算机的超强计算能力使其非常适于迭代。即按照一个规律，反复计算很多次，得出结果。

7）S9/S5=(9a5)例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式/(5a3)=9/5(a5/a3)=9/55/9= 1 。

8）S4，S8-S4 ，S基础要熟之外，还有一个就是不能怂。数列本身内容少，但是题型能出的让知识点藏很深，要一定灵活分析。多练可能有用，但题目出永的远比你做是快，所以要有这种心态12-S8 ，S16-S12 成等数列，

由于 S4/S8=1/3 ，因此 S8=3S4 ，

所以 S8-S4=2S4 ，S12-S8=3S4 ，S16-S12=4S4 ，

由此得 S16=10S4 ，

所以 S8/S16=8S4/(10S4)=4/5 。

高中数学关于数列的问题

变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。

因为Sn-1在n=1时是没有定义的，所以这样算出来的通项公式默认从数列的第二项开始。但是S1=a1是成立的，也就是说，n=1时，a1的值就是S1的值，因此再把a1的值代入你算出来的通项公式验证符不符合，如果符合就可以合并，不符合就要分开写。其实带不带入都是对的。。

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

（1）求出来的确实是n>=2时的通项公式，这是毋庸置疑的。

（2）能不能把n=1带入？

是当然可以，因为n只能为整数，n>=2时的通项公式以求出，而a1的值也知道，如果符合那个公式，当然就可以合并。如果不符合，要写成分段函数的形式。

（3）注意到用（2）必须是“a1的值已经知道”，如果a1值不知道，当然不可以用通项公式求，因为那个通项公式是n>=2时的通项公式。

有问题欢迎准问。

又看了一遍你的问题，两个数学老师都没错。第二个老师主要告诉你们不能这样“求”a1，意思是a1值未知，需要求出来a1的值。但是大多数题目中a1是直接给出的。

我个人认为，位老师说的是正确的。我高中就是这样被教育的过来的。只有当a1代入通项公式不满足时，用分段函数表示即可。

求出来的确实是n>=2时的通项公式，这的确是毋庸置疑的。

但是如果要求整个数列的通项公六、用累加法求an=an－1+f（n）型通项式的话，是必须要把n=1代入的。

我高中就是这样过来的~~~ 高考成绩不错，值得相信~~~

怎么把数列学好，可以说说一些常见的数列各方面的题型吗

（2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，…

数列和不等式应该是（3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，…比较好学习的。

主要数列就注意求通项问题，化归等等比数列问题和求和问题，其它的就没什么了。

注意总结方法，乘比错位相减法，累加累乘法等！

不解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)等式记住重要的不等式

平方均值大于等于算术均值大于等于几何均值大于等于调和均值等等整理一下，

找关系和技巧就好了！

研究数列的最重要课题是讨论数列的极限，这一点在高等数学里会有更深入的研究；高等数学里还要深入研究级数（即数列的和）。

中学里除了学习数列里一些最基本的概念，我以为只要学好等数列与等比数列就可以了。

1、熟练掌握等数列与等比数列的概念，包括定义、公与公比等；

2、会写等数列与等比数列的通项公式，知道等中项与等比中项的性质，并且会利用这些性质；

3、会写出等数列与等比数列前n项部分和。

把上面概念搞清楚了，就是数列部分学好了。

应当指出，写数列的通项公式和前n项部分和，对于一般的数列而言是很困难的，甚至是不可能的，没有必要在这方面化太多的精力与时间，因为化了再多的精力，未必能够有什么收效。我经常在这里看到有这样一类的题目，即写了几个数，问中间或后面出现的是什么数，这实际上是游戏，不是数学，对学习数学并没有什么好处，这种题目不会也罢。

学好数列就是要多做些题型

这个得靠自己多写一点题目

等数列an的前n项和为Sn，已知a5=11 a8=5求an和Sn

当a1=1时,a(n)=a1=1(常数列)

解：可设an=a1+(n-1)d.(n=1,2,3,,,,).由题设可得：a1+4d=11,a1+7d=5.解得：a1=19,d=-2,===>an=19-2(n-1)=-2n+21-(n2).Sn=n[2a1+(n-1)d]/2=-n^2+20n.

解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）则an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1)

A8-A5=3d

==> 5-11=3d

==> d= -2

==> A1=19

==> An=A1+(n-1)d=19-2(n-1)= 21-2n

==> Sn=21n-2[n(n+1)/2]=20n-n^2

a8-a5=3d

d=-1

a1+4d=a5 a1=15

an=a1+(n-1)d=16-n

sn=(a1+an)n/2=(31-n)n/2

高中数学~由数列递推式求通项

=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1

有没有听过特征方程？很多数列递推式都可以用递推构造等或等比数列，这也是数列递推式求通项的基本方式！

具体看情况；

我先解这道题吧，关键是左右两边都减1，然后倒过来。这个减一也是有迹可循的——特征方程！

解：（说明：我用a【n】表示，避免混乱）

由 a【n+1】 = 1/（2-a【n】）

得 a【n+1】-1 = 1/（2-a【n】）-1

即 a【n+1】-1 = （a【n】-1 ）/(2-a【n】)

即1/(a【n+1】-1)=-1+1/（a【n】-1 ）

所以{1/（a【n】-1 ）}是以1/(a【1】-1)为首项，-1为公的等数列

所以1/（a【n】-1 ）=1/(a【1】-1)-（n-1）

所以a【n】=[a【1】-（n-1)(a【1】-1)]/[1-(n-1)(a【1】-1)]

好像很神奇，这步-1，其实是由特征根得到的：把a【n】和a【n+1】换为x得到特征方程：x=1/(2-x)一元二次方程，得到解（如这道x=1）左右两边都减去得到的解，倒数，然后可以化为类似上面化出的关于a【n】加系数的递推公式，可能是等，也可能是等比，构造好后，求出构造的数列的通项，再化出a【n】。

一般特征方程是一个解就化出等，两个解就是等比（两解任选），不过也可都选两式再相除得等比数列。以上是倒数型的解法。叫特征方程或不动点法

要不我出一道给你练练：a【n+1】=2/(a【n】-1）

当a1≠1时,由不动点知1/(a(n+1)-1)=[1/(a(n)-1)]-1

则1/(a(n)-1)是以1/(a1-1)为首项,-1为公的等数列.

所以1/(a(n)-1)=[1/(a1-1)]-(n-1)

n－1+5×3n化简即可求得a(n).

解：a(n+1)=1/[2-an]===>[1/a(n+1)]=2-an.===>[1/a(n+1)]-1=1-an.===>[1-a(n+1)]/a(n+1)=1-an.===>a(n+1)/[1-a(n+1)]=1/(1-an)===>[1/1-a(n+1)]-1/(1-an)=1.===>1/[1-an]=[1/(1-a1)]+(n-1).===>an=[(n-1)(1-a1)+a1]/[n-a1(n-1)]