引言

2018年上海高考数学18题解析

2018年上海高考数学18题解析

上海高考数学18题因其难度较高，引起广泛关注。本文将对这道题进行深入解析，帮生理解其解题思路。

题干

已知函数$f(x) = sin(x-pi/6) + cos(x+pi/4)$，在区间$[-pi/12, pi/3]$上取值、最小值。

解题思路

步：化简函数

利用三角函数公式，将函数化简为： $$f(x) = sin x + cos x + sqrt{2}/2$$

第二步：求导数

对$f(x)$求导数，得到： $$f'(x) = cos x - sin x$$

第三步：求驻点

令$f'(x) = 0$，得到： $$cos x = sin x$$ $$Rightarrow x = pi/4 + kpi, kinmathbb{Z}$$

第四步：判断驻点类型

计算$f''(x)$, 得到： $$f''(x) = -sin x - cos x < 0$$ 因此，驻点$x = pi/4 + kpi$都是极大值点。

第五步：求值、最小值

在区间$[-pi/12, pi/3]$上，驻点为$x = pi/4$。代入$f(x)$，得到： $$fleft(frac{pi}{4}right) = sqrt{2} + 1$$ 因此，值为$sqrt{2} + 1$。

在区间端点处，计算$f(-pi/12)$和$f(pi/3)$，得到： $$fleft(-frac{pi}{12}right) = sqrt{2}-1$$ $$fleft(frac{pi}{3}right) = 1$$ 因此，最小值为$1$。

结论